# eryar

PipeCAD - Plant Piping Design Software.
RvmTranslator - Translate AVEVA RVM to OBJ, glTF, etc.
posts - 595, comments - 590, trackbacks - 0, articles - 0

eryar@163.com

Abstract. In differential geometry the Frenet-Serret formulas describe the kinematic properties of a particle moving along a continuous, differentiable curve in 3d space, or the geometric properties of the curve itself irrespective of any motion. More specifically, the formulas describe the derivatives of the so-called Tangent, Normal and Binormal unit vectors in terms of each other.

Key Words. Frenet-Serret Frame, TNB frame, Trihedron Law

### 1. Introduction

l T是参数曲线的切线方向；

l N是曲线的主法线方向，或称主法矢；主法矢总是指向曲线凹入的方向；

l B是副法矢；当T 和N确定后，通过叉乘即得到B。

Figure 1. T, N, B frame of a curve (from wiki)

### 2.Trihedron Law

Figure 2. Trihedron Law define Trihedron along a Curve

l GeomFill_Fixed：固定的活动动标架，即标架沿着曲线移动时，标架的三个方向是固定的；

l GeomFill_Frenet： Frenet标架；

l GeomFill_Darboux ：Darboux标架；

l GeomFill_ConstantBiNormal：副法矢固定的标架；

### 3. Code Demo

/*

Permission is hereby granted, free of charge, to any person obtaining a copy
of this software and associated documentation files(the "Software"), to deal
in the Software without restriction, including without limitation the rights
to use, copy, modify, merge, publish, distribute, sublicense, and / or sell
copies of the Software, and to permit persons to whom the Software is
furnished to do so, subject to the following conditions :

The above copyright notice and this permission notice shall be included in all
copies or substantial portions of the Software.

THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS", WITHOUT WARRANTY OF ANY KIND, EXPRESS OR
IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO THE WARRANTIES OF MERCHANTABILITY,
FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE AND NONINFRINGEMENT.IN NO EVENT SHALL THE
AUTHORS OR COPYRIGHT HOLDERS BE LIABLE FOR ANY CLAIM, DAMAGES OR OTHER
LIABILITY, WHETHER IN AN ACTION OF CONTRACT, TORT OR OTHERWISE, ARISING FROM,
OUT OF OR IN CONNECTION WITH THE SOFTWARE OR THE USE OR OTHER DEALINGS IN THE
SOFTWARE.
*/

#include <TColgp_Array1OfPnt.hxx>

#include <math_BullardGenerator.hxx>

#include <GCPnts_UniformAbscissa.hxx>
#include <GCPnts_UniformDeflection.hxx>
#include <GCPnts_TangentialDeflection.hxx>
#include <GCPnts_QuasiUniformDeflection.hxx>

#include <Geom_BSplineCurve.hxx>

#include <GeomAPI_PointsToBSpline.hxx>

#include <GeomFill_Fixed.hxx>
#include <GeomFill_Frenet.hxx>
#include <GeomFill_ConstantBiNormal.hxx>
#include <GeomFill_CorrectedFrenet.hxx>
#include <GeomFill_Darboux.hxx>
#include <GeomFill_DiscreteTrihedron.hxx>
#include <GeomFill_GuideTrihedronAC.hxx>
#include <GeomFill_GuideTrihedronPlan.hxx>

#include <BRepBuilderAPI_MakeEdge.hxx>

#include <BRepTools.hxx>

#pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMath.lib")

#pragma comment(lib, "TKG2d.lib")
#pragma comment(lib, "TKG3d.lib")
#pragma comment(lib, "TKGeomBase.lib")
#pragma comment(lib, "TKGeomAlgo.lib")

#pragma comment(lib, "TKBRep.lib")
#pragma comment(lib, "TKTopAlgo.lib")

void test()
{
TColgp_Array1OfPnt aPoints(1, 6);
math_BullardGenerator aBullardGenerator;
for (Standard_Integer i = aPoints.Lower(); i <= aPoints.Upper(); ++i)
{
Standard_Real aX = aBullardGenerator.NextReal() * 50.0;
Standard_Real aY = aBullardGenerator.NextReal() * 50.0;
Standard_Real aZ = aBullardGenerator.NextReal() * 50.0;

aPoints.SetValue(i, gp_Pnt(aX, aY, aZ));
}

GeomAPI_PointsToBSpline aBSplineFitter(aPoints);
if (!aBSplineFitter.IsDone())
{
return;
}

std::ofstream aTclFile("d:/tcl/trihedron.tcl");

aTclFile << std::fixed;
aTclFile << "vclear" << std::endl;

Handle(Geom_BSplineCurve) aBSplineCurve = aBSplineFitter.Curve();

BRepBuilderAPI_MakeEdge anEdgeMaker(aBSplineCurve);
BRepTools::Write(anEdgeMaker, "d:/edge.brep");

aTclFile << "restore " <<  " d:/edge.brep e" << std::endl;
aTclFile << "incmesh e " << " 0.01" << std::endl;
aTclFile << "vdisplay e " << std::endl;

Handle(GeomFill_Frenet) aFrenet = new GeomFill_Frenet();

for (Standard_Integer i = 1; i <= aPointSampler.NbPoints(); ++i)
{
Standard_Real aParam = aPointSampler.Parameter(i);

gp_Vec aT;
gp_Vec aN;
gp_Vec aB;

aFrenet->D0(aParam, aT, aN, aB);

// vtrihedron in opencascade draw 6.9.1
/*aTclFile << "vtrihedron vt" << i << " " << aP.X() << " " << aP.Y() << " " << aP.Z() << " "
<< " " << aB.X() << " " << aB.Y() << " " << aB.Z() << " "
<< " " << aT.X() << " " << aT.Y() << " " << aT.Z() << std::endl;
*/

// vtrihedron in opencascade draw 7.1.0 has bug.
/*aTclFile << "vtrihedron vt" << i << " -origin " << aP.X() << " " << aP.Y() << " " << aP.Z() << " "
<< " -zaxis " << aB.X() << " " << aB.Y() << " " << aB.Z() << " "
<< " -xaxis " << aT.X() << " " << aT.Y() << " " << aT.Z() << std::endl;
*/

// vtrihedron in opencascade draw 7.2.0
aTclFile << "vtrihedron vt" << i << " -origin " << aP.X() << " " << aP.Y() << " " << aP.Z() << " "
<< " -zaxis " << aB.X() << " " << aB.Y() << " " << aB.Z() << " "
<< " -xaxis " << aT.X() << " " << aT.Y() << " " << aT.Z() << std::endl;
aTclFile << "vtrihedron vt" << i << " -labels xaxis T 1" << std::endl;
aTclFile << "vtrihedron vt" << i << " -labels yaxis N 1" << std::endl;
aTclFile << "vtrihedron vt" << i << " -labels zaxis B 1" << std::endl;

aTclFile << "vsize vt" << i << " 2" << std::endl;
}
}

int main(int argc, char* argv[])
{
test();

return 0;
}

Figure 3. Frenet Frame

### 5. References

1. 赵罡, 穆国旺, 王拉柱. 非均匀有理B样条. 清华大学出版社. 2010

2. 陈维桓. 微分几何. 北京大学出版社. 2006

3. 朱心雄. 自由曲线曲面造型技术. 科学出版社.  2000

@birds