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群结构  
  定理1
:若G为一个循环群,则G内每个满足ord(α)=s的元素α都是拥有s个元素的循环子群的生成元
  证明
      

  定理2:若G为一个阶为n的有限循环群,g为对应的生成元,则对整除n的每个整数k,G都存在一个唯一的阶为k的循环子群H。
    这个子群是由gn/k生成的。H是由G内满足条件αk=1的元素组成的,且G不存在其它子群
  证明
     

  推论:从上述两定理可知有限循环群、子群及生成元的关系如下
      
  例子:依据上述推论得如下
      

生成元判定算法
  输入:循环群G、某子群的阶k  
    1)若k=1,则直接输出e。否则转到2)
    2)随机从G-{e}中选择一元素x
    3)若xk≠e,则转回2)。否则若k为素数,则跳到5);若k为合数,则转到4)  
    4)遍历整除k的真因子d,若xd=e,则转回2)    
    5)输出x
posted on 2024-03-20 22:49 春秋十二月 阅读(153) 评论(0)  编辑 收藏 引用 所属分类: Algorithm

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