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【定义】设整数N=P×Q,P与Q皆为素数,如果P≡Q≡3 (mod4),则N为一个Blum(布卢姆)数

【定理】设N为Blum数,N ∤ d,若同余方程x2≡d (mod N)有解,则d的平方根中有一半的Jacobi符号为1,另一半Jacobi符号为-1;且仅有一个平方根为模N的二次剩余
    证明:
    

【推论】设N为Blum数,N=P×Q,令
    
   证明:
    

例子由定义知N=21=3×7为Blum数,则相关乘法群、二次剩余子群、Jacobi集合如下
   


【应用一】
Blum-Goldwasser公钥加密
      
    解密正确性是因为步骤1用到了欧拉定理及求平方根的如下算法,步骤2用到了中国剩余定理

       
       从上可得x=s(P+1)/4 mod P或x=P-s(P+1)/4 mod P,因(-1)(P-1)/2等于-1 mod P,故前者为模P的二次剩余。从加密流程可知{s1,s2,...,sn+1}正是模N二次剩余类的子集。
    所以从密文中r=sn+1求它的(p+1)/4次幂、(q+1)/4次幂,迭代n次就得到了s1模p的解、s1模q的解,又因p、q、n在迭代中不变,故用欧拉定理预计算dp mod (p-1)、dq mod (q-1)。
    另一种(不太高效而直接的)解密如下
       
    另加密与明文异或的那部分实际是伪随机比特发生器,因为平方模N构成二次剩余类上的单向陷门置换,其最低有效位是核心断言,故从si+1求出lsb(si)是不可行的。简单证明如下
       
      由于均匀选择一个种子s0,所以为概率加密,进而由可证明安全定理(每个概率公钥加密都是多项式安全的,及每个多项式安全的公钥加密都是语义安全的)知满足IND-CPA安全性
    易知IND-CCA2安全性是不满足的,因为敌手可用如下攻击方法获取明文:已知目标密文C=(r, m⊕σ1σ2σn),构造新密文C’=(r, m’⊕m⊕σ1σ2σn),将C’发给解密预言机得到m’’,则m=m’’⊕m’
    由于加密产生的r与σ1σ2σn都是伪随机的,所以密文(r, x⊕σ1σ2σn)的分布是伪随机的,在目标密文前的解密询问会得到若干密文与明文对,无论怎么构造一对明文,任选其一加密得到的密文都不可区分。因此IND-CCA1安全性是满足的

【应用二】无爪函数/置换构造
      
      
    如上构造用到Blum数的上述推论,及基于大整数因子分解的困难假设。这里主要解释下为什么由两个Jacobi符号不同的平方根可计算大整数的素因子
      

【应用三】伪随机数发生器
                Xn+1=Xn2 mod N      n=0、1、2...,X0为种子
     显然种子不为1。若为一个非二次剩余,则从X1开始就为二次剩余子群的元素,但最后必回到X1而非X0;若为二次剩余,则为了安全需要考究随机数数列的周期是否整周期(二次剩余子群的大小减1)。
  下面具体分析周期。先举例几个很小的Blum数
      
     从上面例子可以发现,由二次剩余子群构成的随机数数列不一定是整周期的,对于N=33无论种子怎么选,都是整周期4;对于N=57若种子选-8或7则周期为2,选其它则为6。
  现在一般化考虑,什么情况下才产生整周期?论证如下
       
posted on 2024-02-25 23:29 春秋十二月 阅读(226) 评论(0)  编辑 收藏 引用 所属分类: Algorithm

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