雁过无痕

《编程之美》读书笔记22：    1.16  24点游戏

给定4个数，能否只通过加减乘除计算得到24？由于只有4个数，弄个多重循环，就可以。如果要推广到n个数，有两种思路：

① 采用前缀/后缀表达式。相当于将n个数用n-1个括号括起来，其数目就是一个catlan数。最多可得到 f(n) = (1/n * (2*n - 2)! / (n-1)! / (n-1)!) * n! * 4^(n-1) = 4^(n-1) * (2*n-2)! / (n-1)! 种表达式，当n=4时，共可得到 7680种。

② 从n个数中任意抽取2个，进行计算最多有6种结果，将计算结果放回去，再从剩下的n-1个任取2个，进行计算，如此反复，直到只剩下1个数。按这种算法，共要处理表达式：g(n)=(n*(n-1)/2*6) * ((n-1)*(n-2)/2*6) * ((n-2)*(n-3)/2*6) * (2*1/2*6) = n!*(n-1)!*3^(n-1)当n=4时，最多要处理3888种。 (书上的代码将这两种思路混在一块了。)

f(n) / g(n) = (4/3)^(n-1) * (2*n-2)! / n! / (n-1)! / (n-1)!

很明显，当n比较大时（比如n大于8），会有 f(n) < g(n)。比如：f(10)/g(10)=0.178。

从f(n)与g(n)的比值，可以看出，这两种解法都存在大量的不必要计算。当n比较大时，思路2的冗余计算已经严重影响了性能。要如何减少这些不必要计算呢？

可以记录得到某个计算结果时所进行操作。比如: a、b、c和d这4个数取前2个，进行加法计算得到 a+b，则记录‘+’。另外，假设加减号的优先级为0，乘除号的优先级为1。

a和b进行减/除计算时，实际上得到 a-b与b-a，a/b与b/a。

当取出2个数a和b，进行计算，这两个数上次的操作符有下面这几种情况：

① 都为空：

要计算6个结果，即 a+b, a-b, b-a, a*b, a/b, b/a。

② 只有一个为空：假设： a = a1 op1 a2

   ⑴　一种剪枝方法是： 若op1为减（除）号，则不进行加减（乘除）计算。

       因为： (a-b)-c可以转为a-(b+c)，这两个表达式只要计算一个就可以。

⑵　另一种剪枝方法：额外记录每次计算最靠后的那个数的位置。比如位置顺序：a、b、c、d，进行a+c计算时，记录了c位置，再与数b计算时，由于b位置在c位置前，不允许计算 (a+c) + b 和 (a+c) – b这样就避免了表达式 a+b+c和 a-b+c被重复计算。

③ 都不为空： 假设： a = a1 op1 a2， b= b1 op2 b2

   要计算的结果： a op3 b = （a1 op1 a2）op3 (b1 op2 b2)

   ⑴　如果 op1 和 op2的优先级相同，那么 op3 的优先级不能与它们相同，若相同，则原来的表达式可以转为 ((a1 op4 a2) op5 b1) op6 b2，因而没必要对原来的表达式进行计算。比如 (m1+m2)与(m3-m4)之间只进行乘除计算，而不进行加减计算。

⑵　如果 op1 和 op2的优先级不同，那么 op3 无论怎么取，其优先级都必会与其中一个相同，则原表达式可以转化((c1 op4 c2) op5 c3) op6 c4这种形式，因而该表达式没必要计算。如(m1+m2)与(m3*m4)，不进行任何计算。

总之：op1 与 op2优先级不同时，不进行计算。

         op1 与 op2优先级相同时，进行计算的操作符优先级不与它们相同。

要注意的是：剪枝不一定提高性能（在笔记1.3 一摞烙饼的排序 中已经说明了这个问题）。如果n个数计算可得到24，过多的避免冗余计算，有可能严重降低性能。计算n=6时，碰到一个组合，仅使用了③的剪枝方法，得到结果时处理了四百个表达式，但再采用了②的第一种剪枝方法，处理的表达式达到五十三万多。（也许②的第二种剪枝方法不存在这么严重的问题。）与烙饼排序不同的是，烙饼排序总能找到一个结果，而n个数计算有可能无解。显然在无解时，采用尽可能多的剪枝方法，必然会极大的提高性能。

另外，对于输出表达式，书上的程序进行了大量的字符串操作，实际上可以只记录，每一步取出的两个数的位置（即记录i、j值），在需要输出时，再根据所记录的位置，进行相应的字符串操作就可以了。

书上的解法二实现
 1#include <iostream>
 2#include <string>
 3#include <set>
 4#include <cmath>
 5using namespace std;
 6
 7bool calc(int src[], size_t N, double M = 24.0)
 8{
 9  if (N == 0 || src == NULL) return false;
10  set<double> result[1 << N];
11  for (size_t i = 0; i < N; ++i) result[1<<i].insert((double)src[i]); 
12  
13  for (size_t i =1; i < (1<<N); ++i) {
14    for (size_t j = 1; j <= (i >> 1); ++j) {
15       if ((i & j) != j) continue;
16       for (set<double>::iterator p = result[j].begin(); p != result[j].end(); ++p) {
17         double va = *p;
18         size_t k = i ^ j;
19         for (set<double>::iterator q = result[k].begin(); q != result[k].end(); ++q) {
20           double vb = *q;
21           result[i].insert(va + vb);
22           result[i].insert(va - vb);
23           result[i].insert(vb - va);
24           result[i].insert(va * vb);
25           if (vb != 0.0) result[i].insert(va / vb);
26           if (va != 0.0) result[i].insert(vb / va);
27         }
28       }
29    } 
30  }
31  
32  size_t j = (1 << N) - 1;
33  const double zero = 1e-9;
34  for (set<double>::iterator p = result[j].begin(); p != result[j].end(); ++p) {
35    if (fabs(*p - M) < zero) return true;
36  }
37  return false;
38}
39
40int main()
41{
42  //int src[]={13, 773, 28, 98, 731, 1357,97357246};
43  int src[]={13, 773, 28, 98, 731, 97357246};
44  cout << calc(src,sizeof(src)/sizeof(src[0]))<<endl;
45}
46

下面的代码是个半成品：

#include<iostream>
#include<sstream>
#include<cmath>
using namespace std;

const double Result = 24;
const size_t Cards = 6;
double number[Cards]={11,21,31,41,51,61};
char op[Cards+1] = {0};
size_t pos[Cards];

static long long count1=0;
static long long count2=0;
static bool calc(size_t step);

inline bool calc2(size_t step, size_t i, double na, double nb, char op9)
{
  op[i] = op9;
  switch (op9) {
    case '+':   number[i] = na + nb; break;
    case '-':   number[i] = na - nb; break;
    case '*':   number[i] = na * nb; break;
    case '/':   number[i] = na / nb; break;
    default : break;
  }
  return calc(step-1);
}

inline bool iszero(double num)
{
  const double Zero = 1e-9; 
  if (num > Zero || num < -1.0 * Zero) return false; 
  return true;
}

size_t getop(const char op9)
{
  static size_t arr[256]= {0}; 
  arr['+']=1,arr['-']=1,arr['*']=4,arr['/']=4;
  return arr[(size_t)op9];
}


bool calc(size_t step)
{
  ++count1;
  if (step <= 1) {
    ++count2;   
    if (fabs(number[0] - Result)<1e-6) {
      return true; 
    }  
    return false;
  } 
  for(size_t i = 0; i < step; i++){
    for(size_t j = i + 1; j < step; j++) {
      double na = number[i];
      double nb = number[j];
      unsigned char op1=op[i];
      unsigned char op2=op[j];
      op[j] = op[step - 1];
      number[j] = number[step - 1];
      bool ba=true, bb=true;
      size_t v=getop(op1)+getop(op2);
      
      if (v==5) ba=bb=false;
      else if (v==2) ba=false;
      else if (v==8) bb=false;
      // else if (v==1 || v==4) {
        // unsigned char ch2= op1 + op2;      
        // if (ch2=='-') ba=false;
        // else if (ch2=='/') bb=false;
      // } 
    
       
      //if (v==5) ba=bb=false;
      // else if (((v-1)&v)==0) { //case: 1 2 4 8
        // if (v==2) ba=false;
        // else if (v==8) bb=false;
        // else {
          // unsigned char ch2= op1 | op2;      
          // if (ch2=='-') ba=false;
          // else if (ch2=='/') bb=false;          
        // }   
      // }   
      
      //if (1) ba=bb=true;         
      if (ba) {
        if (calc2(step, i, na, nb, '+')) return true;
        if (calc2(step, i, na, nb, '-')) return true;
        if (calc2(step, i, nb, na, '-')) return true;
      }
      if (bb) {
        if (calc2(step, i, na, nb, '*')) return true;
        if (! iszero(nb) && calc2(step, i,na, nb, '/')) return true;
        if (! iszero(na) && calc2(step, i,nb, na, '/')) return true; 
      } 
     
      number[i] = na;
      number[j] = nb;
      op[i] = op1;
      op[j] = op2;     
    }
  }
  return false;
}

int main()
{
  for (size_t i=0; i<Cards; ++i) pos[i]=i;
  cout<< calc(Cards)<<endl;
  cout<< count1<<"  "<<count2<<endl; 
}