雁过无痕

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《编程之美》读书笔记:1.3 一摞烙饼的排序


问题:

    星期五的晚上,一帮同事在希格玛大厦附近的“硬盘酒吧”多喝了几杯。程序员多喝了几杯之后谈什么呢?自然是算法问题。有个同事说:“我以前在餐馆打工,顾客经常点非常多的烙饼。店里的饼大小不一,我习惯在到达顾客饭桌前,把一摞饼按照大小次序摆好——小的在上面,大的在下面。由于我一只手托着盘子,只好用另一只手,一次抓住最上面的几块饼,把它们上下颠倒个个儿,反复几次之后,这摞烙饼就排好序了。我后来想,这实际上是个有趣的排序问题:假设有n块大小不一的烙饼,那最少要翻几次,才能达到最后大小有序的结果呢?”

你能否写出一个程序,对于n块大小不一的烙饼,输出最优化的翻饼过程呢?

 

n个烙饼经过翻转后的所有状态可组成一棵树。寻找翻转最少次数,相当于在树中搜索层次最低的某个节点。

由于每层的节点数呈几何数量级增长,在n较大时,使用广度优先遍历树,可能没有足够的内存来保存中间结果(考虑到每层的两个节点,可以通过旋转,移位等操作互相转换,也许每层的状态可以用一个函数来生成,这时可以采用广度优先方法。),因而采用深度优先。但这棵树是无限深的,必须限定搜索的深度(即最少翻转次数的上限值),当深度达到该值时不再继续往下搜索。最少翻转次数,必然小等于任何一种翻转方案所需的翻转次数,因而只要构造出一种方案,取其翻转次数即可做为其初始值。最简单的翻转方案就是:对最大的未就位的烙饼,将其翻转,再找到最终结果中其所在的位置,翻转一次使其就位。因此,对编号在n-12之间的烙饼,最多翻转了2*(n-2)次,剩下01号烙饼最多翻转1次,因而最少翻转次数的上限值是:2*(n-2)+1=2*n-3(从网上可搜索到对该上限值最新研究结果:上限值为18/11*n),当然,最好还是直接计算出采用这种方案的翻转次数做为初始值


减少遍历次数

1 减小“最少翻转次数上限值”的初始值,采用前面提到的翻转方案,取其翻转次数为初始值。对书中的例子{3,2,1,6,5,4,9,8,7,0},初始值可以取10

 

2 避免出现已处理过的状态一定会减少遍历吗?答案是否定的,深度优先遍历,必须遍历完一个子树,才能遍历下一个子树,如果一个解在某层比较靠后位置,若不允许处理已出现过的状态时,可能要经过很多次搜索,才能找到这个解,但允许处理已出现过的状态时,可能会很快找到这个解,并减小“最少翻转次数的上限值”,使更多的分支能被剪掉,从而减少遍历。比如说,两个子树AB,搜索子树A100次后可得到一个解对应翻转次数20,搜索子树B20次后可得到翻转次数为10的解,不允许处理已出现过的状态,就会花100次遍历完子树A后,才开始遍历B,但允许翻转回上一次状态,搜索会在AB间交叉进行,就可能只要70次找到子树B的那个解(翻转次数为10+2=12),此时,翻转次数比较少,能减少更多的搜索,搜索次数明显减少。以书中的{3,2,1,6,5,4,9,8,7,0}为例,按程序(1.3_pancake.cpp),不允许翻转回上次状态时需搜索195次,而允许翻转回上次状态时只要搜索116次。

 

3 如果最后的几个烙饼已经就位,只须考虑前面的几个烙饼。对状态(0,1,3,4,2,5,6),编号为56的烙饼已经就位,只须考虑前5个烙饼,即状态(0,1,3,4,2)如果一个最优解,从某次翻转开始移动了一个已经就位的烙饼,且该烙饼后的所有烙饼都已经就位,那么,对这个解法,从这次翻转开始得到的一系列状态,从中移除这个烙饼,得到新的状态,可以设计出一个新的解法对应这系列新的状态。该解法所用的翻转次数不会比原来的多。

 

4 估计每个状态还需要翻转的最少次数(即下限值),加上当前的深度,如果大等于上限值,就无需继续遍历。这个下限值可以这样确定:从最后一个位置开始,往前找到第一个与最终结果位置不同的烙饼编号(也就是说排除最后几个已经就位的烙饼),从该位置到第一个位置,计算相邻的烙饼的编号不连续的次数,再加上1每次翻转最多只能使不连续的次数减少1但很多人会忽略掉这个情况:最大的烙饼没有就位时,必然需要一次翻转使其就位,而这次翻转却不改变不连续次数。(可以在最后面增加一个更大的烙饼,使这次翻转可以改变不连续数。)如:对状态(0,1,3,4,2,5,6)等同于状态(0,1,3,4,2),由于1342不连续,因而下限值为2+1=3下限值也可以这样确定:在最后面增加一个已经已就位的最大的烙饼,然后再计算不连续数。如:(0,1,3,4,2),可以看作(0,1,3,4,2,5)13 42 25这三个不连续,下限值为3

 

5多数情况下,翻转次数的上限值越大,搜索次数就越多。可以采用贪心算法,通过调整每次所有可能翻转的优先顺序,尽快找到一个解,从而减少搜索次数。比如,优先搜索使“下限值”减少的翻转,其次是使“下限值”不变的翻转,最后才搜索使“下限值”增加的翻转。对“下限值”不变的翻转,还可以根据其下次的翻转对“下限值”的影响,再重新排序。由于进行了优先排序,翻转回上一次状态能减少搜索次数的可能性得到进一步降低。

 

6 其它剪枝方法:

假设第m次翻转时,“上限值”为min_swap

如果在某个位置的翻转得到一个解(即翻转次数为m),则其它位置可以不搜索(因为在其它位置的翻转,能得到的最少翻转次数必然大等m)。

如果在某个位置的翻转后,“下限值”为k,并且 k+m>=min_swap,则对所有的使新“下限值”kk大等于k的翻转,都有 kk+m>=min_swap,因而都可以不搜索。

 

另外,由于翻转时,只有两个位置的改变才对“下限值”有影响,因而可以记录每个状态的“下限值”,翻转时,通过几次比较,就可以确定新状态的“下限值”。(判断不连续次数时,最好写成 -1<=x && x<=1, 而不是x==1 || x==-1。对于 int x; a<=x && x<=b,编译器可以将其优化为 unsigned (x-a) <= b-a


结果:

对书上的例子{3,2,1,6,5,4,9,8,7,0}

 

翻转回上次状态

搜索函数被调用次数

翻转函数被调用次数

1.3_pancake_2

不允许

29

66

1.3_pancake_2

允许

33

74

1.3_pancake_1

不允许

195

398

1.3_pancake_1

允许

116

240

(这个例子比较特殊,代码1.3_pancake_2.cpp(与1.3_pancake_1.cpp的最主要区别在于,增加了对翻转优先顺序的判断,代码下载),在不允许翻转回上次状态、取min_swap的初始值为2*10-2=18时,调用搜索函数29次,翻转函数56次)。

  另外,对1.3_pancake_2.cpp的第148行做个简单的改动:
        for (int pos=1, last_swap=cake_swap[step++]; pos<size; ++pos){  
       改为:
        for (int pos=size-1, last_swap=cake_swap[step++]; pos>0; ++pos){

        只是改变了搜索顺序,但却极大提升了搜索效率。对书上的例子,搜索次数进一步降到11次(实际上前六次搜索找到了一个解,后而的几次用于判断这个解是是最优解)。遍历所有可能的排列求第1……10个烙饼数所用的总时间,也由原来的38秒降到21秒。

1.3_pancake_f

 

补充:

在网上下了《编程之美》“第6刷”的源代码,结果在编译时存在以下问题:

1 Assert 应该是 assert

2 m_arrSwap 未被定义,应该改为m_SwapArray

3 Init函数两个for循环,后一个没定义变量i,应该将i 改为 int i

另外,每运行一次Run函数,就会调用Init函数,就会申请新的内存,但却没有释放原来的内存,会造成内存泄漏。

 

书上程序的低效主要是由于进行剪枝判断时,没有考虑好边界条件,可进行如下修改:

1  if(step + nEstimate > m_nMaxSwap)  > 改为 >=

2  判断下界时,如果最大的烙饼不在最后一个位置,则要多翻转一次,因而在LowerBound函数return ret; 前插入一行:

if (pCakeArray[nCakeCnt-1] != nCakeCnt-1) ret++;

3       n个烙饼,翻转最大的n-2烙饼最多需要2*(n-2)次,剩下的2个最多1次,因而上限值为2*n-3,因此,m_nMaxSwap初始值可以取2*n-3+1=2*n-2,这样每步与m_nMaxSwap的判断就可以取大等于号。

4        采用书上提到的确定“上限值”的方法,直接构建一个初始解,取其翻转次数为m_nMaxSwap的初始值。

12任改一处,都能使搜索次数从172126降到两万多,两处都改,搜索次数降到3475。若再改动第3处,搜索次数降到2989;若采用4的方法(此时初始值为10),搜索次数可降到1045





posted on 2010-06-23 23:49 flyinghearts 阅读(1539) 评论(1)  编辑 收藏 引用

评论

# re: 《编程之美》读书笔记02:1.3 一摞烙饼的排序 2016-05-28 17:12
请问楼主可以换个主题吗,这个主题代码排版太不好了,复制也不方便。。。  回复  更多评论
  


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