KMP和扩展KMP

Posted on 2011-04-17 19:11 Mato_No1 阅读(5632) 评论(2)  编辑 收藏 引用 所属分类: 字符串匹配
KMP:给出两个字符串A(称为模板串)和B(称为子串),长度分别为lenA和lenB,要求在线性时间内,对于每个A[i](0<=i<lenA),求出A[i]往前和B的前缀匹配的最大匹配长度,记为ex[i](或者说,ex[i]为满足A[i-z+1..i]==B[0..z-1]的最大的z值)。KMP的主要目的是求B是不是A的子串,以及若是,B在A中所有出现的位置(当ex[i]=lenB时)。
【算法】
设next[i]为满足B[i-z+1..i]==B[0..z-1]的最大的z值(也就是B的自身匹配)。设目前next[0..lenB-1]与ex[0..i-1]均已求出,要用它们来求ex[i]的值。
根据ex的定义,有A[i-1-ex[i-1]+1..i-1]==B[0..ex[i-1]-1],这时,若有A[i]==B[ex[i-1]],则可以直接得到ex[i]=ex[i-1]+1(因为i-1-ex[i-1]+1即i-ex[i-1],现在由于A[i]==B[ex[i-1]],可得A[i-ex[i-1]..i]==B[0..ex[i-1]],即A[i-ex[i-1]+1-1..i]==B[0..ex[i-1]+1-1],所以ex[i]=ex[i-1]+1)。若A[i]!=B[ex[i-1]]?
设j=next[ex[i-1]-1],则根据next定义得B[ex[i-1]-j..ex[i-1]-1]==B[0..j-1],又因为A[i-ex[i-1]..i-1]==B[0..ex[i-1]-1]得A[i-j..i-1]==B[ex[i-1]-j..ex[i-1]-1],这样有A[i-j..i-1]==B[0..j-1]!也就是此时只需再比较A[i]与B[j]的值是否相等即可,若相等,可得ex[i]=j+1,若仍不相等,则更新j为next[j-1],继续比较A[i]与B[j]是否相等……直到A[i]与B[j]相等或直到j==0时,A[i]仍不等于B[j],此时ex[i]=0。边界:求ex[0]时,初始j(用来代替ex[i-1])为0。
现在还有一个问题,如何求next?显然next就是以B自身为模板串,B为子串的“自身匹配”,用类似的办法即可,唯一不同的是next[0]=lenB可以直接得到,求next[1]时,初始j(代替next[i-1])为0。
【核心代码】
    lenA = strlen(A); lenB = strlen(B);
    next[
0= lenB;
    
int j = 0;
    re2(i, 
1, lenB) {
        
while (j && B[i] != B[j]) j = next[j - 1];
        
if (B[i] == B[j]) j++;
        next[i] 
= j;
    }
    j 
= 0;
    re(i, lenA) {
        
while (j && A[i] != B[j]) j = next[j - 1];
        
if (A[i] == B[j]) j++;
        ex[i] 
= j;
    }
扩展KMP:给出模板串A和子串B,长度分别为lenA和lenB,要求在线性时间内,对于每个A[i](0<=i<lenA),求出A[i..lenA-1]与B的最长公共前缀长度,记为ex[i](或者说,ex[i]为满足A[i..i+z-1]==B[0..z-1]的最大的z值)。扩展KMP可以用来解决很多字符串问题,如求一个字符串的最长回文子串和最长重复子串。
【算法】
设next[i]为满足B[i..i+z-1]==B[0..z-1]的最大的z值(也就是B的自身匹配)。设目前next[0..lenB-1]与ex[0..i-1]均已求出,要用它们来求ex[i]的值。
设p为目前A串中匹配到的最远位置,k为让其匹配到最远位置的值(或者说,k是在0<=i0<i的所有i0值中,使i0+ex[i0]-1的值最大的一个,p为这个最大值,即k+ex[k]-1),显然,p之后的所有位都是未知的,也就是目前还无法知道A[p+1..lenA-1]中的任何一位和B的任何一位是否相等。
根据ex的定义可得,A[k..p]==B[0..p-k],因为i>k,所以又有A[i..p]==B[i-k..p-k],设L=next[i-k],则根据next的定义有B[0..L-1]==B[i-k..i-k+L-1]。考虑i-k+L-1与p-k的关系:
(1)i-k+L-1<p-k,即i+L<=p。这时,由A[i..p]==B[i-k..p-k]可以得到A[i..i+L-1]==B[i-k..i-k+L-1],又因为B[0..L-1]==B[i-k..i-k+L-1]所以A[i..i+L-1]==B[0..L-1],这就说明ex[i]>=L。又由于next的定义可得,A[i+L]必然不等于B[L](否则A[i..i+L]==B[0..L],因为i+L<=p,所以A[i..i+L]==B[i-k..i-k+L],这样B[0..L]==B[i-k..i-k+L],故next[i-k]的值应为L+1或更大),这样,可以直接得到ex[i]=L!
(2)i+k-L+1>=p-k,即i+L>p。这时,首先可以知道A[i..p]和B[0..p-i]是相等的(因为A[i..p]==B[i-k..p-k],而i+k-L+1>=p-k,由B[0..L-1]==B[i-k..i-k+L-1]可得B[0..p-i]==B[i-k..p-k],即A[i..p]==B[0..p-i]),然后,对于A[p+1]和B[p-i+1]是否相等,目前是不知道的(因为前面已经说过,p是目前A串中匹配到的最远位置,在p之后无法知道任何一位的匹配信息),因此,要从A[p+1]与B[p-i+1]开始往后继续匹配(设j为目前B的匹配位置的下标,一开始j=p-i+1,每次比较A[i+j]与B[j]是否相等,直到不相等或者越界为止,此时的j值就是ex[i]的值)。在这种情况下,p的值必然会得到延伸,因此更新k和p的值。
边界:ex[0]的值需要预先求出,然后将初始的k设为0,p设为ex[0]-1。
对于求next数组,也是“自身匹配”,类似KMP的方法处理即可。唯一的不同点也在边界上:可以直接知道next[0]=lenB,next[1]的值预先求出,然后初始k=1,p=ex[1]。

需要严重注意的是,在上述的情况(2)中,本该从A[p+1]与B[p-i+1]开始匹配,但是,若p+1<i,也就是p-i+1<0(这种情况是有可能发生的,当ex[i-1]=0,且前面的ex值都没有延伸到i及以后的时候)的话,需要将A、B的下标都加1(因为此时p必然等于i-2,如果A、B的下标用两个变量x、y控制的话,x和y都要加1)!!

【核心代码】
lenA = strlen(A); lenB = strlen(B);
    next[
0= lenB; next[1= lenB - 1;
    re(i, lenB
-1if (B[i] != B[i + 1]) {next[1= i; break;}
    
int j, k = 1, p, L;
    re2(i, 
2, lenB) {
        p 
= k + next[k] - 1; L = next[i - k];
        
if (i + L <= p) next[i] = L; else {
            j 
= p - i + 1;
            
if (j < 0) j = 0;
            
while (i + j < lenB && B[i + j] == B[j]) j++;
            next[i] 
= j; k = i;
        }
    }
    
int minlen = lenA <= lenB ? lenA : lenB; ex[0= minlen;
    re(i, minlen) 
if (A[i] != B[i]) {ex[0= i; break;}
    k 
= 0;
    re2(i, 
1, lenA) {
        p 
= k + ex[k] - 1; L = next[i - k];
        
if (i + L <= p) ex[i] = L; else {
            j 
= p - i + 1;
            
if (j < 0) j = 0;
            
while (i + j < lenA && j < lenB && A[i + j] == B[j]) j++;
            ex[i] 
= j; k = i;
        }
    }
【时间复杂度分析】
在KMP和扩展KMP中,不管是A串还是B串,其匹配位置都是单调递增的,故总时间复杂度是线性的,都为O(lenA + lenB)(只是扩展KMP比KMP的常数更大一些)。
【应用】
KMP和扩展KMP在解决字符串问题中有大用。很多看上去很猥琐的字符串问题,都可以归结到这两种算法之中。另外,这里的“字符串”可以延伸为一切类型的数组,而不仅仅是字符数组。

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2011-12-14 22:34 by ~~
KMP算法里面next[0]应该是0才对吧?
next[i]为满足B[i-z+1..i]==B[0..z-1]的最大的z值(也就是B的自身匹配)
对于B[0],i- 1是-1,不能向前延伸了~

# re: KMP和扩展KMP  回复  更多评论   

2015-08-02 14:21 by yajun
扩展KMP
if (i + L <= p) ex[i] = L; else {
相等的时候,需要向后匹配,因为可能会比L更长。

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