【AHOI2013复仇】二维DP优化的几道题总结

Mato_No1 — Sun, 03 Mar 2013 07:25:00 GMT

【1】BZOJ1713
F[i][j]=max{F[i1][j1] - (sA[i-1]-sA[i1])² - (sB[j-1]-sB[j1])²} + A[i]*B[j], 0<=i1对这个式子进行化简：
F[i][j]=max{F[i1][j1] - sA[i1]² + 2*sA[i-1]*sA[i1] - sB[j1]² + 2*sB[j-1]*sB[j1]}+A[i]*B[j]-sA[i-1]²-sB[j-1]²
对于一维的情况，很容易处理——中间就是一条直线，然而这是二维的，对于这种2D/2D的DP方程，要优化到O(N²)级别，需要两步。
注意到决策式中除了F[i1][j1]外，其它部分都要么只与i1有关，要么只与j1有关。因此，可以把阶段i的各个状态作为一个整体，在之前得出的各个F[i][j]中，对于相同的j，找到对于目前的i，最优的那个决策——注意，对于相同的j1，里面所有与j1有关的东西都可以先不考虑了，只考虑(F[i1][j1] - sA[i1]² + 2*sA[i-1]*sA[i1])对于目前i的最优决策。这一步可以在这些直线形成的上凸壳中找到，且满足决策单调性，可以用一个栈处理（斜率优化）。然后，将这些最优决策以j为自变量再组成一些直线，用栈维护它们的上凸壳，对于每个j，找到最优值即可。
注意事项：在栈中删除直线的时候，如果之前的最优决策是这个被删掉的直线，则要将最优决策先置为不存在，然后再插入新直线后设为新直线。另外，要特别注意平行的情况。

【2】LCIS
经典问题，利用上面的分步优化思想，很容易用线段树得到一个O(N²logN)的做法。

【3】[SCOI2010]股票交易
F[i][j]=max{F[i-1][j], max{F[i-W-1][j-a]-A*a, F[i-W-1][j+b]+b*B}}, j<=maxP, 1<=a<=maxA, 1<=b<=maxB
注意对于相同的j，计算方法是一样的，且是一条直线（由于有范围所以其实是线段）。
所以，计算阶段i时，可以将(i-W-1)阶段所有的决策当成线段插入，这些线段的斜率都相等，因此比较好维护，只需要判断边界即可。

注意，NOI2011的show虽然也符合对于相同的j计算方法一样，但它就不能优化，因为它的决策是不连续且无规律的，没有任何几何性质。因此，它只能用O(N³)的算法计算出所有状态。

Mato_No1 2013-03-03 15:25 发表评论

【AHOI2013复仇】动态凸包

Mato_No1 — Thu, 28 Feb 2013 10:29:00 GMT

摘要: 原题地址写了几天终于写出来了……（显然，我太弱了，请各位神犇不要鄙视）在有加点的情况下，动态地维护凸包，有以下两种方法：<1>维护上、下凸壳（本沙茶采用的方法）：凸包可以拆成上、下凸壳，对它们分别维护。两个凸壳均按照下面定义的<关系（即先x增、再y增）排序，注意，两个凸壳的两端是相同的，均为整个凸包的最小点与最大点，除两端外，它们没有公共定点。以上凸壳为例... 阅读全文

Mato_No1 2013-02-28 18:29 发表评论

C++博客-Mato is No.1-随笔分类-几何

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【AHOI2013复仇】动态凸包