The Fourth Dimension Space

枯叶北风寒,忽然年以残,念往昔,语默心酸。二十光阴无一物,韶光贱,寐难安; 不畏形影单,道途阻且慢,哪曲折,如渡飞湍。斩浪劈波酬壮志,同把酒,共言欢! -如梦令

关于欧拉回路和欧拉路径

定义:
欧拉回路:每条边恰好只走一次,并能回到出发点的路径
欧拉路径:经过每一条边一次,但是不要求回到起始点

①首先看欧拉回路存在性的判定:

一、无向图
每个顶点的度数都是偶数,则存在欧拉回路。

二、有向图(所有边都是单向的)
每个节顶点的入度都等于出度,则存在欧拉回路。

 三.混合图欧拉回路
  混合图欧拉回路用的是网络流。
  把该图的无向边随便定向,计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数,那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度,也就是总度数为偶数,存在奇数度点必不能有欧拉回路。
  好了,现在每个点入度和出度之差均为偶数。那么将这个偶数除以2,得x。也就是说,对于每一个点,只要将x条边改变方向(入>出就是变入,出>入就是变出),就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入,那么很明显,该图就存在欧拉回路。
  现在的问题就变成了:我该改变哪些边,可以让每个点出 = 入?构造网络流模型。首先,有向边是不能改变方向的,要之无用,删。一开始不是把无向边定向了吗?定的是什么向,就把网络构建成什么样,边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u,连接边(u, t)、容量为x,对于出 > 入的点v,连接边(s, v),容量为x(注意对不同的点x不同)。之后,察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路,没有就是没有。欧拉回路是哪个?查看流值分配,将所有流量非 0(上限是1,流值不是0就是1)的边反向,就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
  由于是满流,所以每个入 > 出的点,都有x条边进来,将这些进来的边反向,OK,入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么,没和s、t连接的点怎么办?和s连接的条件是出 > 入,和t连接的条件是入 > 出,那么这个既没和s也没和t连接的点,自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中,这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的,这样,进去多少就出来多少,反向之后,自然仍保持平衡。
  所以,就这样,混合图欧拉回路问题,解了。


②.欧拉路径存在性的判定

一。无向图
一个无向图存在欧拉路径,当且仅当   该图所有顶点的度数为偶数   或者  除了两个度数为奇数外其余的全是偶数

二。有向图
一个有向图存在欧拉路径,当且仅当 该图所有顶点的度数为零     或者 一个顶点的度数为1,另一个度数为-1,其他顶点的度数为0

三。混合图欧拉路径
其实整篇文章只有这部分是我写的哈,灰常不好意思,只是网上的同志们写的太好了,实在没有必要重复劳动,不知道大家有没有发现,求欧拉路径的第一步一定是求欧拉回路,在混合图上也不例外,如何判断混合图欧拉回路问题的存在性呢?首先,我们用上文所说的方法判断该图是否存在欧拉回路,如果存在,欧拉路径一定存在。如果欧拉回路不存在,那么我们枚举欧拉路径的起点和终点,连接一条无向边,然后再用最大流判断是否存在欧拉回路即可。

OJ上的几道题 :POJ 1386 HDOJ 3472

 

posted on 2010-07-26 19:48 abilitytao 阅读(5017) 评论(0)  编辑 收藏 引用


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