The Fourth Dimension Space

枯叶北风寒,忽然年以残,念往昔,语默心酸。二十光阴无一物,韶光贱,寐难安; 不畏形影单,道途阻且慢,哪曲折,如渡飞湍。斩浪劈波酬壮志,同把酒,共言欢! -如梦令

卡特兰数 的几个应用

 

问题

《编程之美》中提到了“买票找零”问题,查阅了下资料,此问题和卡特兰数 Cn有关,其定义如下:

image

卡特兰数真是一个神奇的数字,很多组合问题的数量都和它有关系,例如:

一.Cn= 长度为 2n的 Dyck words的数量。 Dyck words是由 n个 X和 n个 Y组成的字符串,并且从左往右数, Y的数量不超过 X,例如长度为 6的 Dyck words为:

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

二.Cn= n对括号正确匹配组成的字符串数,例如 3对括号能够组成:

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

三.Cn= n+1个数相乘,所有的括号方案数。例如, 4个数相乘的括号方案为:

 
((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))

\四.Cn= 拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量。例如 4个叶子节点的所有二叉树形态:

Catalan number binary tree example.png

五.Cn=n*n的方格地图中,从一个角到另外一个角,不跨越对角线的路径数,例如, 4×4方格地图中的路径有:

Catalan number 4x4 grid example.svg

六.Cn= n+2条边的多边形,能被分割成三角形的方案数,例如 6边型的分割方案有:

Catalan-Hexagons-example.svg

七.Cn= 圆桌周围有 2n个人,他们两两握手,但没有交叉的方案数。

在《Enumerative Combinatorics》一书中,竟然提到了多达 66种组合问题和卡特兰数有关。

posted on 2010-04-12 20:34 abilitytao 阅读(903) 评论(0)  编辑 收藏 引用


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