投影与相机空间

http://sighingnow.github.io/graphics/projection_and_camera.html

投影与相机空间

 Published On August 14, 2015

计算机屏幕是2维的,OpenGL渲染的3D场景必须以2D形式的图像投影到屏幕上。

透视投影

透视投影能较好的使二维投影显示立体感,因为人眼观看物体符合透视原理。首先,将所有顶点从眼坐标(照相机坐标)转换到裁剪坐标系下。然后,这些裁剪坐标通过透视除法,即除以裁剪坐标中w分量,转换到归一化设备坐标系(NDC)。在透视投影中,在眼坐标下截头椎体(a truncated pyramid frustum)内的3D点被映射到NDC下一个立方体中;x坐标从[l,r]映射到[-1,1],y坐标从[b,t]映射到[-1,1],z坐标从[n,f]映射到[-1,1]。

世界坐标和眼坐标系使用右手坐标系,而NDC使用左手坐标系。这就是说,眼坐标系下,在原点处的照相机朝着-Z轴看去,但是在NDC中它朝着+Z轴看去。如下图所示:

相机坐标系与设备坐标系

由几何关系,可以推导出对称视锥(常见的都是对称视锥,也符合人眼看物理的规律)的投影变换矩阵如下:

透视投影变换矩阵

其中,n为眼睛与近平面的距离(near),f为眼睛与远平面的距离(far),r为设备的宽度,t为设备的高度。

如何定义视界角度为alpha,定义设备的宽高比为 ar = width/height, 那么,投影矩阵也可以表述为:

透视投影变换矩阵

对应的代码实现:

PipeLine & PipeLine::PerspectiveProject(float ar, float alpha, float znear, float zfar) {     mat4x4f PrespectiveM = {         1.0f/(tanf(alpha/2.0)*ar), 0.0f                  , 0.0f                      , 0.0f,         0.0f                     , 1.0f/(tanf(alpha/2.0)), 0.0f                      , 0.0f,         0.0f                     , 0.0f                  , (-znear-zfar)/(znear-zfar), (2*zfar*znear)/(znear-zfar),         0.0f                     , 0.0f                  , 1.0f                      , 0.0f     };     mulmatf(PrespectiveM, M, M, 4, 4, 4);     return *this; } 

投影变换对应的矩阵称为投影(projection)矩阵

正交投影

构造正交投影(Orithographic Projection)的矩阵简单很多。所有的是眼坐标下xe, ye 和ze,都被线性的映射到NDC中。我们需要做的就是讲长方体视景体缩放为规范视见体,然后移动到原点。如下图所示:

正交投影

如果视锥是对称的话,投影矩阵为:

正交投影变换矩阵

相机空间

我们可以将相机放在三维空间的任意位置,然后将世界坐标系中的点转换到相机坐标系中,然后投影到设备屏幕上。理论上可以生成这样的变化矩阵,实现把一个位于3D空间的对象投影到坐落在世界坐标系任意位置的相机正前方的2D平面上。

三维相机的一个示意图:

相机示意图

与UVN相关的概念包括:

  • 相机位置,或者叫做视点(eyepoint): 观察参考点 (View Reference Point)
  • 相机镜头方向,通过观察平面的法向量指定: 观察平面法向量VPN (View Plane Normal)
  • 相机顶部正朝向: VUV (View Up Vector)

相机平移变换

移动相机是非常简单的。如果相机位于(x,y,z),那么平移变换就是(-x,-y,-y)。原因很明显——相机在世界坐标系下用向量(x,y,z)做平移变换,所以想要相机回到原点,那么我们就需要使用此向量的相反向量进行平移。变换矩阵如下所示:

相机移动变换矩阵

相机旋转变换

下一步是将相机转向世界坐标系中指定的位置。我们想要找到在相机定义的新坐标系下顶点的位置。“UVN相机”是众多指定相机方向的办法中的一个。相机被下列的矩阵所定义:

  • N: 由相机指向它的目标的向量。在一些3D的文献中也被称为’look at’。这个向量对应于Z轴。
  • V: 直立时,这个向量相对于相机是竖直向上的。这个向量对应于Y轴。
  • U: 这个向量从相机指向其右侧。它对应于X轴。

为了把一个位置从世界坐标系空间转换到被UVN向量定义的相机坐标系空间,我们需要在位置和UVN向量之间进行一个点乘运算。我们可以把UVN系统看作是相机的基,从而可以方便的把一个向量在世界坐标和相机坐标进行转换(将世界坐标变换到相机坐标)。得到的相机旋转变换矩阵:

相机转动变换矩阵

下来讨论这个变换矩阵的推导过程。对于一个相机,我们容易知道它在三维坐标(世界坐标系)中的以下三个参数:

  • pos: 相机的位置坐标。
  • target: 相机正前方的目标点的坐标。
  • up: 相机的正上方(头顶)的方向向量。(一般为(0.0f, 1.0f, 0.0f),与人平视屏幕时的头顶方向一致)。

根据这三个参数,注意到相机坐标系是右手坐标系,根据向量叉积的性质,容易求出:

N = norm(target - pos) U = norm(up * N) V = norm(N * U) 

当相机在屏幕中定位时,它首先会进行朝向的确定——旋转,然后进行位置的确定——平移。因此,当进行相机变换的时候,将世界坐标系中的坐标变换到相机坐标系中的坐标时,应该进行一个相机定位的逆定位。先做逆平移变换,再做逆旋转变换。

关于相机变换矩阵的推导,参考了博文[推导相机变换矩阵][http://blog.csdn.net/popy007/article/details/5120158]。

相机变换对应的矩阵称为视图(view)矩阵,也称为观察矩阵

数学运算库 glm 中包含了一个lookUp函数,可以根据postargetup三个向量来直接计算出相机变换矩阵:

glm::mat4 View = glm::lookAt(     glm::vec3(4,3,3), // Camera is at (4,3,3), in World Space     glm::vec3(0,0,0), // and looks at the origin     glm::vec3(0,1,0)  // Head is up (set to 0,-1,0 to look upside-down) ); 

摄像机控制

通过相机变换矩阵,我们可以利用矩阵乘法将世界坐标系中的坐标变换到相机坐标系中。通过修改pos, target 和 up 参数,我们可以在程序中动态完成相机的控制。但是这样仍然不能很好的用于人机交互,通常使用的第一人称相机,通过键盘WASD等键和鼠标来控制虚拟相机更加方便,因此需要改进我们的相机控制。要想构造适合人机交互的相机类,必须明确我们需要实现的目标。第一人称相机的目标包括:键盘来移动相机,是相机前后左右移动,通过鼠标来控制相机绕xy轴转动角度,通过鼠标滚轮来实现缩放。

第一人称相机旋转示意图:

第一人称相机旋转示意图图

可以将相机在空间的旋转、移动等变换都分解到 U、V、N 方向上进行,三个为了更好地表达对摄像机的控制,实现一个Camera类,代码实现:

// implements for class Camera Camera::Camera(vec3f pos, vec3f target, vec3f up): POS(pos), TARGET(target), UP(up) {     // initial camera.     POS = pos; TARGET = target; UP = up;     this->UpdateUVN(); }  Camera & Camera::Translate(float du, float dv, float dn) {     vec3f delta(du*U.x + dv*V.x + dn*N.x, du*U.y + dv*V.y + dn*N.y, du*U.z + dv*V.z + dn*N.z);     POS = POS + delta;     TARGET = TARGET + delta;     return this->UpdateUVN(); }  Camera & Camera::Rotate(float roll, float pitch, float yaw) {     vec3f uu, vv, nn;      uu = U, vv = V;     U = uu * cosf(roll) - vv * sinf(roll);     V = uu * sinf(roll) + vv * cosf(roll);      vv = V, nn = N;     V = vv * cosf(pitch) - nn * sinf(pitch);     N = vv * sinf(pitch) + nn * cosf(pitch);      // nn = N, uu = U;     N = nn * cosf(yaw) - uu * sinf(yaw);     U = nn * sinf(yaw) + uu * cosf(yaw);      // update target and up.     TARGET = POS + N; UP = V;      return *this; }  Camera & Camera::UpdateUVN() {     // calculate the axis value of camera coordinate system.     N = (TARGET - POS).Normalize();     U = (UP * N).Normalize();     V = (U * N).Normalize();     return *this; }  mat4x4f & Camera::TransformM() {     memset(M, 0x00, sizeof(M));     M[0][0] = M[1][1] = M[2][2] = M[3][3] = 1.0f;     // calculate translation transform.     mat4x4f TranslateM = {         1.0f, 0.0f, 0.0f, -POS.x,         0.0f, 1.0f, 0.0f, -POS.y,         0.0f, 0.0f, 1.0f, -POS.z,         0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f     };     mulmatf(TranslateM, M, M, 4, 4, 4);     // calculate rotation transform.     mat4x4f RotateM = {         U.x , U.y , U.z , 0.0f,         V.x , V.y , V.z , 0.0f,         N.x , N.y , N.z , 0.0f,         0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f     };     mulmatf(RotateM, M, M, 4, 4, 4);      return this->M; } 

方向键控制六个方向上的移动:

static void SpecialKeys(int key, int, int) {     switch (key) {     case GLUT_KEY_LEFT: camera.Translate(-STEP_VAL); break;     case GLUT_KEY_RIGHT: camera.Translate(STEP_VAL); break;     case GLUT_KEY_UP: camera.Translate(0.0f, STEP_VAL); break;     case GLUT_KEY_DOWN: camera.Translate(0.0f, -STEP_VAL); break;     case GLUT_KEY_PAGE_UP: camera.Translate(0.0f, 0.0f, STEP_VAL); break;     case GLUT_KEY_PAGE_DOWN: camera.Translate(0.0f, 0.0f, -STEP_VAL); break;     default: printf("Unknown Special Key: %d\n", key); break;     } } 

鼠标拖拽:

glutMotionFunc(MotionFunc); glutMouseFunc(MouseFunc);  static void MotionFunc(int x, int y) {     if(mstate) {         camera.Rotate(0.0f, ToRadian((_y-y)*Camera::MOUSE_SENSITIVITY), ToRadian((_x-x)*Camera::MOUSE_SENSITIVITY));         _x = x; _y = y; // update     } }  static void MouseFunc(int button, int state, int x, int y) {     if(button == GLUT_LEFT_BUTTON) {         if(state == GLUT_DOWN) {             _x = x, _y = y; mstate = true;         }         else {             mstate = false;         }     } } 

MVP变换矩阵

M、V、P 分别指模型(model),视图(view)和投影(projection)。MVP矩阵是模型、视图、以及投影变换三者结合起来的变换矩阵。变换顺序为:模型 -> 视图 -> 投影。变换方程表达:

MVP = model * view * projection  MVPTransform = model * view * projection * origin 

在实际编程中,可以使用glm库来方便地实现这些操作:

    // Projection matrix : 45° Field of View, 4:3 ratio, display range : 0.1 unit <-> 100 units     glm::mat4 Projection = glm::perspective(45.0f, 4.0f / 3.0f, 0.1f, 100.0f);     // Camera matrix     glm::mat4 View       = glm::lookAt(         glm::vec3(4,3,3), // Camera is at (4,3,3), in World Space         glm::vec3(0,0,0), // and looks at the origin         glm::vec3(0,1,0)  // Head is up (set to 0,-1,0 to look upside-down)     );     // Model matrix : an identity matrix (model will be at the origin)     glm::mat4 Model      = glm::mat4(1.0f);  // Changes for each model !     // Our ModelViewProjection : multiplication of our 3 matrices     glm::mat4 MVP        = Projection * View * Model; // Remember, matrix multiplication is the other way around 

深度缓冲(Z-Buffer)

在OpenGL绘图过程中,我们会遇到这样的问题:一些理应被遮挡的面,因为绘制次序靠后,竟然变成可见的了。我们将用深度缓冲(Z-Buffer)算法解决它。

该问题的解决方案是:在缓冲中存储每个片段的深度(即“Z”值);并且每次绘制片段之前要比较当前与先前片段的深度值,看谁离摄像机更近。

我们可以自己实现深度缓冲,但让硬件自动完成更简单:

// Enable depth test glEnable(GL_DEPTH_TEST); // Accept fragment if it closer to the camera than the former one glDepthFunc(GL_LESS); 

问题解决了。

参考

  1. 深入投影变换
  2. OpenGL学习脚印: 投影矩阵的推导
  3. 推导相机变换矩阵

posted on 2018-01-08 11:31 zmj 阅读(196) 评论(0)  编辑 收藏 引用


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