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背包之01背包、完全背包、多重背包详解

PS:大家觉得写得还过得去,就帮我顶博客,谢谢。

首先说下动态规划,动态规划这东西就和递归一样,只能找局部关系,若想全部列出来,是很难的,比如汉诺塔。你可以说先把除最后一层的其他所有层都移动到2,再把最后一层移动到3,最后再把其余的从2移动到3,这是一个直观的关系,但是想列举出来是很难的,也许当层数n=3时还可以模拟下,再大一些就不可能了,所以,诸如递归,动态规划之类的,不能细想,只能找局部关系。

1.汉诺塔图片

(引至杭电课件:DP最关键的就是状态,在DP时用到的数组时,也就是存储的每个状态的最优值,也就是记忆化搜索)

要了解背包,首先得清楚动态规划:

动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤:

1. 描述一个最优解的结构;

2. 递归地定义最优解的值;

3. 以“自底向上”的方式计算最优解的值;

4. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。

其中步骤1~3是动态规划求解问题的基础。如果题目只要求最优解的值,则步骤4可以省略。

背包的基本模型就是给你一个容量为V的背包

在一定的限制条件下放进最多(最少?)价值的东西

当前状态→ 以前状态

看了dd大牛的《背包九讲》(点击下载),迷糊中带着一丝清醒,这里我也总结下01背包,完全背包,多重背包这三者的使用和区别,部分会引用dd大牛的《背包九讲》,如果有错,欢迎指出。

(www.wutianqi.com留言即可)

首先我们把三种情况放在一起来看:

01背包(ZeroOnePack): 有N件物品和一个容量为V的背包。(每种物品均只有一件)第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用,每件费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

比较三个题目,会发现不同点在于每种背包的数量,01背包是每种只有一件,完全背包是每种无限件,而多重背包是每种有限件。

——————————————————————————————————————————————————————————–:

01背包(ZeroOnePack): 有N件物品和一个容量为V的背包。(每种物品均只有一件)第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。

用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

把这个过程理解下:在前i件物品放进容量v的背包时,

它有两种情况:

第一种是第i件不放进去,这时所得价值为:f[i-1][v]

第二种是第i件放进去,这时所得价值为:f[i-1][v-c[i]]+w[i]

(第二种是什么意思?就是如果第i件放进去,那么在容量v-c[i]里就要放进前i-1件物品)

最后比较第一种与第二种所得价值的大小,哪种相对大,f[i][v]的值就是哪种。

(这是基础,要理解!)

这里是用二位数组存储的,可以把空间优化,用一位数组存储。

用f[0..v]表示,f[v]表示把前i件物品放入容量为v的背包里得到的价值。把i从1~n(n件)循环后,最后f[v]表示所求最大值。

*这里f[v]就相当于二位数组的f[i][v]。那么,如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]?(重点!思考)
首先要知道,我们是通过i从1到n的循环来依次表示前i件物品存入的状态。即:for i=1..N
现在思考如何能在是f[v]表示当前状态是容量为v的背包所得价值,而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]标签前一状态的价值?

逆序!

这就是关键!

1for i=1..N
2   for v=V..0
3        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
4

分析上面的代码:当内循环是逆序时,就可以保证后一个f[v]和f[v-c[i]]+w[i]是前一状态的!
这里给大家一组测试数据:

测试数据:
10,3
3,4
4,5
5,6


这个图表画得很好,借此来分析:

C[v]从物品i=1开始,循环到物品3,期间,每次逆序得到容量v在前i件物品时可以得到的最大值。(请在草稿纸上自己画一画

这里以一道题目来具体看看:

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

代码在这里:http://www.wutianqi.com/?p=533

分析:


具体根据上面的解释以及我给出的代码分析。这题很基础,看懂上面的知识应该就会做了。

——————————————————————————————————————————————————————————–

完全背包:

完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

完全背包按其思路仍然可以用一个二维数组来写出:

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

同样可以转换成一维数组来表示:

伪代码如下:

for i=1..N
    
for v=0..V
        f[v]
=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}


顺序!

想必大家看出了和01背包的区别,这里的内循环是顺序的,而01背包是逆序的。
现在关键的是考虑:为何完全背包可以这么写?
在次我们先来回忆下,01背包逆序的原因?是为了是max中的两项是前一状态值,这就对了。
那么这里,我们顺序写,这里的max中的两项当然就是当前状态的值了,为何?
因为每种背包都是无限的。当我们把i从1到N循环时,f[v]表示容量为v在前i种背包时所得的价值,这里我们要添加的不是前一个背包,而是当前背包。所以我们要考虑的当然是当前状态。
这里同样给大家一道题目:

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114

代码:http://www.wutianqi.com/?p=535

(分析代码也是学习算法的一种途径,有时并不一定要看算法分析,结合题目反而更容易理解。)

——————————————————————————————————————————————————————————–

多重背包

多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用,每件费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可,因为对于第i种物品有n[i]+1种策略:取0件,取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值,则有状态转移方程:

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

这里同样转换为01背包:

普通的转换对于数量较多时,则可能会超时,可以转换成二进制(暂时不了解,所以先不讲)

对于普通的。就是多了一个中间的循环,把j=0~bag[i],表示把第i中背包从取0件枚举到取bag[i]件。

给出一个例题:

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191

代码:http://www.wutianqi.com/?p=537

因为限于个人的能力,我只能讲出个大概,请大家具体还是好好看看dd大牛的《背包九讲》。

暂时讲完后,随着以后更深入的了解,我会把资料继续完善,供大家一起学习探讨。(我的博客:www.wutianqi.com如果大家有问题或者资料里的内容有错误,可以留言给出,谢谢您的支持。)

原文下载地址:(Word版)
http://download.csdn.net/sour

个人原创,转载请注明本文链接:http://www.wutianqi.com/?p=539

posted on 2010-07-31 19:07 Tanky Woo 阅读(18222) 评论(11)  编辑 收藏 引用

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# re: 背包之01背包、完全背包、多重背包详解 2010-08-01 05:58 吴冬亮
赞楼主  回复  更多评论
  
# re: 背包之01背包、完全背包、多重背包详解 2010-08-01 07:20 指蓝针
相当不错,我觉得再加上混合背包之类的再给出一些练习题就更完美了。  回复  更多评论
  
# re: 背包之01背包、完全背包、多重背包详解 2010-08-01 08:59 Tanky Woo
@指蓝针
呵呵,等我自己在进步一了解后会把这个文章继续完善的。争取让大家能更好的理解背包,确实,没有习题一起是很难理解的。  回复  更多评论
  
# re: 背包之01背包、完全背包、多重背包详解 2010-08-01 08:59 Tanky Woo
@吴冬亮
呵呵,谢谢支持。  回复  更多评论
  
# re: 背包之01背包、完全背包、多重背包详解 2010-08-02 23:46 flyinghearts

01背包,完整的公式应该是:
(假设:体积v[i], 重w[i], 总体积V)

f[0][j]=0 (j=0,1,2...V)
f[i][j]=f[i-1][j] (j<v[i])
=max{f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]} (j >= v[i])


用二维数组保存结果的话,顺序和逆序都可以。
但为节省空间,只用一维数组保存结果的话,就必须用逆序,若用顺序的话,要读取的值会被计算结果覆盖,造成结果不对。



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# re: 背包之01背包、完全背包、多重背包详解 2010-08-03 18:27 Onway
哥们,辛苦了啊,我最近也在学背包,呵呵  回复  更多评论
  
# re: 背包之01背包、完全背包、多重背包详解 2010-08-11 17:12 楚天清秋
第i件物品的费用是c[i]....
应该形容为 第i件物品的体积是c[i].... 吧
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# re: 背包之01背包、完全背包、多重背包详解 2011-06-14 16:32 吹着风
背包问题是一个经典模型,很多问题可以用这个模型来解决  回复  更多评论
  
# re: 背包之01背包、完全背包、多重背包详解 2012-11-26 09:03 
稳定的业绩生存模式在于自己并不知道自己的业绩产生的方式是什么,或者说在客观环境下面确实业绩的存在总是不出现,两种方式导致对于稳定业绩的存在模式的那种感觉低下的过程出现的状态。  回复  更多评论
  
# re: 背包之01背包、完全背包、多重背包详解 2013-02-13 19:39 
在基本的状态模式与工作需要的模式的区别在于这个矛盾不存在意想的成分,或者不存在让那种对于目标与职业关系的构想,这样的构想往往就是妄想,一切基于工作状态与工作需要的成就其实就在于对于自己在上班时间上面的效果的关注。  回复  更多评论
  
# re: 背包之01背包、完全背包、多重背包详解 2014-04-26 15:39 匿名
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