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母函数Generating function详解

(因为我是用Word写好了贴上来的,不知为何图片点插入不管用,这是原文:http://www.wutianqi.com/?p=596,大家可以直接去这里看。)

前段时间写了一篇背包之01背包、完全背包、多重背包详解,看到支持的人很多,我不是大牛,只是一个和大家一样学习的人,写这些文章的目的只是为了一是希望让大家学的轻松,二是让自己复习起来更方便。

PS:大家觉得我的文章还过的去就帮我支持下我的个人独立博客---Tanky Woo的程序人生:http://www.wutianqi.com/,谢谢)

(以下内容部分引至杭电ACM课件和维基百科)


在数学中,某个序列的母函数是一种形式幂级数,其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法

母函数可分为很多种,包括普通母函数指数母函数L级数贝尔级数狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题,因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。


这里先给出两句话,不懂的可以等看完这篇文章再回过头来看:

"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"

"母函数的思想很简单—就是把离散数列和幂级数一一对应起来,把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系,最后由幂级数形式来确定离散数列的构造


由此可以看出:

1. x的系数是a1,a2,…an的单个组合的全体。

2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。

………

n. xn的系数是a1,a2,….ann个组合的全体(只有1个)。

由此得到

母函数的定义:

对于序列a0a1a2构造一函数:

muhanshu.png

称函数G(x)是序列a0a1a2的母函数


这里先给出2个例子,等会再结合题目分析:

第一种:

 

1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚,能称出哪几种重量?每种重量各有几种可能方案? 

考虑用母函数来接吻这个问题:

我们假设x表示砝码,x指数表示砝码的重量,这样:

11克的砝码可以用函数1+x表示,

12克的砝码可以用函数1+x2表示,

13克的砝码可以用函数1+x3表示,

14克的砝码可以用函数1+x4表示,

上面这四个式子懂吗?

我们拿1+x2来说,前面已经说过,x表示砝码,x的指数表示重量,即这里就是一个质量为2的砝码,那么前面的1表示什么?1代表重量为2的砝码数量为0个。(理解!)

不知道大家理解没,我们这里结合前面那句话:

"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"


1+x2表示了两种情况:1表示质量为2的砝码取0个的情况,x2表示质量为2的砝码取1个的情况。

这里说下各项系数的意义:

x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个,而1就表示相应砝码取0个,这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x2(想下为何?结合数学式子)

Tanky Woo 的程序人生http://www.wutianqi.com/

 


所以,前面说的那句话的意义大家可以理解了吧?

几种砝码的组合可以称重的情况,可以用以上几个函数的乘积表示:

(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)

=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)

=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10  

从上面的函数知道:可称出从1克到10克,系数便是方案数。(!!!经典!!!)

    例如右端有2x5 项,即称出5克的方案有25=3+2=4+1;同样,6=1+2+3=4+210=1+2+3+4

    故称出6克的方案有2,称出10克的方案有


接着上面,接下来是第二种情况:

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数:

大家把这种情况和第一种比较有何区别?第一种每种是一个,而这里每种是无限的。

muhanshu2.png

以展开后的x4为例,其系数为4,即4拆分成123之和的拆分数为4

 4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

这里再引出两个概念整数拆分和拆分数:

 

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和(相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子,盒子允许空,也允许放多于一个球)。

整数拆分成若干整数的和,办法不一,不同拆分法的总数叫做拆分数


现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例,给出模板

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 // Author: Tanky Woo
 4 // www.wutianqi.com
 5 const int _max = 10001
 6 // c1是保存各项质量砝码可以组合的数目
 7 // c2是中间量,保存没一次的情况
 8 int c1[_max], c2[_max];   
 9 int main()
10 {    //int n,i,j,k;
11     int nNum;   // 
12     int i, j, k;
13 
14     while(cin >> nNum)
15     {
16         for(i=0; i<=nNum; ++i)   // ---- ①
17         {
18             c1[i] = 1;
19             c2[i] = 0;
20         }
21         for(i=2; i<=nNum; ++i)   // ----- ②
22         {
23 
24             for(j=0; j<=nNum; ++j)   // ----- ③
25                 for(k=0; k+j<=nNum; k+=i)  // ---- ④
26                 {
27                     c2[j+k] += c1[j];
28                 }
29             for(j=0; j<=nNum; ++j)     // ---- ⑤
30             {
31                 c1[j] = c2[j];
32                 c2[j] = 0;
33             }
34         }
35         cout << c1[n] << endl;
36     }
37     return 0;
38 }
39 

 

 

我们来解释下上面标志的各个地方:

  、首先对c1初始化,由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化,把质量从0n的所有砝码都初始化为1.

 

  i2n遍历,这里i就是指第i个表达式,上面给出的第二种母函数关系式里,每一个括号括起来的就是一个表达式。

 

 

③、j 0n遍历,这里j就是只一个表达式里第j个变量,比如在第二个表达式里:(1+x2+x4....)里,第j个就是x2*j.

 

  k表示的是第j个指数,所以k每次增i(因为第i个表达式的增量是i)。

 

  、把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0,因为c2每次是从一个表达式中开始的

 


咱们赶快趁热打铁,来几道题目:

(相应题目解析均在相应的代码里分析)

1.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

代码:http://www.wutianqi.com/?p=587

这题大家看看简单不?把上面的模板理解了,这题就是小Case!

 

看看这题:

2.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1398

代码:http://www.wutianqi.com/?p=590

要说和前一题的区别,就只需要改2个地方。 i遍历表达式时(可以参考我的资料---《母函数详解》),把i<=nNum改成了i*i<=nNum,其次在k遍历指数时把k+=i变成了k+=i*i; Ok,说来说去还是套模板~~~

 

3.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

代码:http://www.wutianqi.com/?p=592

这题终于变化了一点,但是万变不离其中。

大家好好分析下,结合代码就会懂了。

 

4.  题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

代码:http://www.wutianqi.com/?p=594

 

 

 

还有一些题目,大家有时间自己做做:

HDOJ17091028170910851171139820692152


附:

1.在维基百科里讲到了普通母函數指數母函數L級數貝爾級數狄利克雷級數

http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E6%AF%8D%E5%87%BD%E6%95%B0

2Matrix67大牛那有篇文章:什么是生成函数:

http://www.matrix67.com/blog/archives/120

3.大家可以看看杭电的ACM课件的母函数那篇,我这里的图片以及一些内容都引至那。


文章暂时讲完后,随着以后更深入的了解,我会把资料继续完善,供大家一起学习探讨。(我的博客—Tanky Woo的程序人生:www.wutianqi.com ,大家帮我支持下博客吧,如果大家有问题或者资料里的内容有错误,可以留言给出,谢谢您的支持。)

 

Tanky Woo

原创文章,转载请注明出处:http://www.wutianqi.com/?p=596


 我已把文章在csdn上上传了,大家可以去下载。(Word)

链接:http://download.csdn.net/source/2591324

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posted on 2010-08-02 15:34 Tanky Woo 阅读(7111) 评论(8)  编辑 收藏 引用

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# re: 母函数(Generating function)详解 2010-08-02 21:55 flxing
www.wutianqi.com 怎么访问不了?  回复  更多评论
  
# re: 母函数(Generating function)详解 2010-08-02 21:56 Tanky Woo
@flxing
不会吧?你再试试。我现在还正开着我的博客在呢。  回复  更多评论
  
# re: 母函数(Generating function)详解 2010-08-03 17:03 hxhxd
为什么看不到attach的png文件啊,我觉得C++博客里有此类数学文或者算法文还是很有价值的  回复  更多评论
  
# re: 母函数(Generating function)详解 2010-08-03 17:06 Tanky Woo
@hxhxd
汗,不好意思,我在文章开头说了,我先是用Word写好的,然后复制上来,但是插入图片时点插入不管用,我在我独立博客上也发了一篇:http://www.wutianqi.com/?p=596

而且在文章最下面哪里有个链接,是我把写好的word传到csdn下载里了,你也可以下载了看,下载不要分。

谢谢你的支持。  回复  更多评论
  
# re: 母函数(Generating function)详解 2010-08-03 21:25 唐风
@Tanky Woo
用Windows Live Writer写,再发布,有图的文章尤其方便撒~!
  回复  更多评论
  
# re: 母函数(Generating function)详解 2010-08-03 21:27 Tanky Woo
@唐风
呵呵,谢谢你的建议,我还没用过那,我一般都是把文章发在我的WP博客里,直接在里面编辑的。大一些的就先写在word里。感觉挺方便的。

你那个我现在就去下下来试试哈!呵呵。  回复  更多评论
  
# re: 母函数(Generating function)详解 2011-10-09 23:57 不对
在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个  回复  更多评论
  
# re: 母函数(Generating function)详解 2011-10-11 22:45 1241513200
移动的网上不了,电信的可以上  回复  更多评论
  

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