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位运算之美——用+,-和位运算实现整数除法和取模(一)

    今天看了一位师兄去年的笔经总结,其中有一题是“不许用%和/来实现求任意数除以3的余数”,我想考官的目的应该是想考察学生对位运算的熟悉程度吧,于是我把题目扩展成“只能用+,-和位运算实现整数除法(/)和取模(%)”,注意:这里不能使用其它的库例程来辅助计算,如log,log10等。在思考这道题目的过程中,我又涉及到了许多二进制相关的题目,如:
    判断给定的整数是不是2的整数次幂
    判断给定的整数是不是4的整数次幂
    求给定整数的二进制表示中1的个数
    求给定整数的二进制表示中0的个数
    求给定整数的二进制表示中最高位1的位置
    求大于等于给定整数的最小的2的整数次幂
    求给定整数的二进制表示的有效位数
    ...
    这些题目都是经典老题,频繁出现于各类笔试面试题中,除了能考察位运算外,还能考察应聘者能否给出创新的算法来更好地解决问题。可以说这些题目都不难,如果使用32位的int来表示整数的话,蛮力法都可以比较好地完成任务,但是如果想尽可能地提高效率,那就需要动一番脑经了。下面给出我对这些问题的整理和C++实现,并在此基础上给出原题(只能用+,-和位运算实现整数除法(/)和取模(%),下文都称为原题)的实现。
    当然,从某种意义上讲,特别是从充分利用底层硬件的计算能力(利用特殊的cpu指令)来看,这些解法肯定不是最优的,希望大侠们多多指点。
    还要说明的是,下面各题的顺序是按照我在思考原题时的思维过程来安排的,在给出原题的实现时会详细说明。
    判断给定的整数是不是2的整数次幂
    这应该是最简单的,利用最高位是1,其后所有位为0的特性,常数时间解决问题:
1 //判断n是否是2的正整数冪
2 inline bool is_2exp(unsigned int n)
3 {
4     return !(n&(n-1));
5 }

    求给定整数的二进制表示中1的个数
    考虑到n-1会把n的二进制表示中最低位的1置0并把其后的所有0置1,同时不改变此位置前的所有位,那么n&(n-1)即可消除这个最低位的1。这样便有了比顺序枚举所有位更快的算法:循环消除最低位的1,循环次数即所求1的个数。此算法的时间复杂度为O(n的二进制表示中的1的个数),最坏情况下的复杂度O(n的二进制表示的总位数)。
 1//计算n的二进制表示中1的个数
 2inline int count1(unsigned int n)
 3{
 4    int r = 0;
 5    while(n)
 6    {
 7        n &= n-1;
 8        r++;
 9    }

10    return r;
11}
    既然有了求给定整数的二进制表示中1的个数的办法,那么想要求给定整数的二进制表示中0的个数就很简单了。事实上,在二进制中,完全可以把0和1看作是对称的两个对象,取反操作(~)可以任意的切换这两个对象,只要先对n进行一次取反,然后再用上述算法即能得到二进制表示中0的个数。首先看下面的代码:
 1//计算n的二进制表示中0的个数
 2inline int count0_wrong(unsigned int n)
 3{
 4    int r = 0;
 5    n &= ~n;
 6    while(n)
 7    {
 8        n &= n-1;
 9        r++;
10    }

11    return r;
12}
    不知大家有没有看出问题来?是的~操作符会把所有高位的都取反,而不是只把有效位取反,所以我们需要一个能保持高位不变的位取反操作,下面是我的实现,时间复杂度和求二进制表示中1的个数的算法相同,都与二进制表示中1的个数有关:
 1//保持高位取反
 2inline unsigned int negate_bits(unsigned int n)
 3{
 4    if(n==0return 1;
 5    unsigned int r=0, m=~n;
 6    while(n)
 7    {
 8        r |= (n^(n-1))&m;
 9        n &= n-1;
10    }

11
12    return r;
13}
    有了这个特殊的取反操作,求给定整数的二进制表示中0的个数的办法就简单了:
 1//计算n的二进制表示中0的个数
 2inline int count0( unsigned int n)
 3{
 4    int r = 0;
 5    n = negate_bits(n);
 6    while(n)
 7    {
 8        n &= n-1;
 9        r++;
10    }

11    return r;
12}
    看到这里,聪明的读者肯定看出问题来了,其实我干了一件很蠢的事情。看看上述算法的时间复杂度,negate_bits花了O(n的二进制表示中1的个数),while循环计算取反后的n的二进制表示中1的个数,事实上就是O(n的二进制表示中0的个数),两部分加起来其实就是二进制表示总的有效位数,换句话说,这个算法是线性的,而事实上,我们完全可以先线性地求出这个总的有效位数,然后减去1的位数,即得到0的位数,根本不用费那么大劲去整个保持高位的取反操作,两者的时间复杂度在渐进意义上也是相同的。所以,我犯傻了,但是这里又引出另一个问题:

    求给定整数的二进制表示的有效位数
   
上面提到了线性地求这个位数(下文记为m),即“循环右移1位,记录右移次数”,时间复杂度O(m)。但是我想,一看到这个题目,所有人的第一反应应该是floor(log2(n))+1吧,但是请注意,本文在一开始就规定了“不能使用库例程”,那么在这个限制下该怎么做呢?有没有比线性时间更好的算法呢?其实到目前为止我也没有什么特别好的算法,希望谁有什么精妙的算法能指点一下,不要打我。。。
 1//求给定整数的二进制表示的位数,线性算法
 2int count_bit_1(unsigned int n)
 3{
 4    int r = 0;
 5    while(n)
 6    {
 7        n>>=1;
 8        r++;
 9    }

10    return r;
11}

:   求大于等于给定整数的最小的2的整数次幂
    首先是最简单的思路:求出n的二进制表示的总位数m,于是1<<m即为所求值,当然这里要排除n自身就是2的整数次幂的情况,复杂度O(m),实现如下:
 1//求大于等于n的最小的2的正整数冪,方法1
 2//时间复杂度O(n的二进制位长度)
 3unsigned int high_2exp_1(unsigned int n)
 4{
 5    if(n<=1return 1;
 6    if(is_2exp(n)) return n;
 7
 8    unsigned int r = 1;
 9    while(n)
10    {
11        n >>= 1;
12        r <<= 1;
13    }

14
15    return r;
16}
    事实上这就涉及到上面求二进制表示位数的问题,所以目前为止在此基础上的算法都是线性时间的。   
    那有没有不用计算位数m,从而效率更好的算法呢,能不能像在计算二进制表示中1的个数时那样根据1的个数来设计算法呢?回到那一题中,“n-1会把n的二进制表示中最低位的1置0并把其后的所有0置1”,那么n|=n-1就把n的二进制表示中最低位1后的所有0置1,再加上1,那么就把最低位1左移了一位。于是,便有了更好的算法:循环左移最低位的1,直到n是2的整数次幂。该算法跟二进制表示中的1个数和位置有关,最坏时间复杂度还是O(二进制表示位数),但是比起上一个实现,这个算法在多数情况下都比上一个算法快。实现如下:
 1//求大于等于n的最小的2的正整数冪,方法2
 2//计算时间与n的二进制表示中1的个数和位置有关,比方法1效率高
 3//最坏情况下的时间复杂度与方法1相同
 4unsigned int high_2exp_2(unsigned int n)
 5{
 6    if(n<=1return 1;
 7
 8    while(!is_2exp(n))
 9    {
10        n |= n-1;
11        n++;
12    }

13
14    return n;
15}
    
    最后来一个简单的扩充题目:
    判断给定的整数是不是4的整数次幂
    观察4的整数次幂的特征,容易发现除了满足n&(n-1)==0外,唯一的1位后的0的个数是偶数,这从4x=22k也能简单地得到。这就很直观地衍生出一个简单的算法:
 1//判断n是否是4的整数次幂
 2bool is_4exp(unsigned int n)
 3{
 4    if(!is_2exp(n)) return false;
 5
 6    int bit_len = count_bit_1(n)-1;//线性时间求二进制位数
 7    if((bit_len&0x1)!=1)
 8        return true;
 9    else
10        return false;
11}
    算法很直观,但是比起is_2exp的常数时间is_4exp的线性时间总让我觉得不能接受,不过无奈还是没有想出好办法来,哎。。。求大牛指点啊

    说明:写这篇文章,已经三次丢失全文了,把我快搞疯了,firefox下好像有点问题,先把文章发上来,过会儿换到IE下继续。。。
    再说明:换了IE后就没再出问题了,不过写着写着发现写了好久,先歇会儿,得看书补习功课了
    最后的说明:下次会基于上面的内容,给本文最初提出的问题(只能用+,-和位运算实现整数除法(/)和取模(%))的实现

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# re: 位运算之美——用+,-和位运算实现整数除法和取模(一)   回复  更多评论   

2010-10-25 10:20 by yu
无意中逛到这里,惊喜之。

# re: 位运算之美——用+,-和位运算实现整数除法和取模(一)   回复  更多评论   

2010-11-18 16:06 by zl
最后的说明:下次会基于上面的内容,给本文最初提出的问题(只能用+,-和位运算实现整数除法(/)和取模(%))的实现
在那里?

# re: 位运算之美——用+,-和位运算实现整数除法和取模(一)   回复  更多评论   

2011-09-25 12:03 by skyworm
n &= ~n; // 写错啦,这个操作之后,n就永远等于0了。

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