糯米

TI DaVinci, gstreamer, ffmpeg
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POJ 3150 Cellular Automaton 矩阵乘法+二分

这题对我来说太难啦,看了报告半天才弄明白是咋回事。
高手们的解题报告相当飘逸。我来写一个造福菜鸟的。

首先来看一下Sample里的第一组数据。
1 2 2 1 2
经过一次变换之后就成了
5 5 5 5 4
它的原理就是
a0 a1 a2 a3 a4
->
(a4+a0+a1) (a0+a1+a2) (a1+a2+a3) (a2+a3+a4) (a3+a4+a0)

如果用矩阵相乘来描述,那就可以表述为1xN和NxN的矩阵相乘,结果仍为1xN矩阵
a = 1 2 2 1 2
b =
1 1 0 0 1
1 1 1 0 0
0 1 1 1 0
0 0 1 1 1
1 0 0 1 1
a * b = 5 5 5 5 4
所以最终结果就是:a * (b^k)

线性代数不合格的同鞋表示压力很大。。

对一个NxN矩阵求k次方,而且这个k很大,N也不小,怎么办?
所以有高手观察到了,这个矩阵长得有点特殊,可以找到一些规律:
b^1 =
[1, 1, 0, 0, 1]
[1, 1, 1, 0, 0]
[0, 1, 1, 1, 0]
[0, 0, 1, 1, 1]
[1, 0, 0, 1, 1]
b^2 =
[3, 2, 1, 1, 2]
[2, 3, 2, 1, 1]
[1, 2, 3, 2, 1]
[1, 1, 2, 3, 2]
[2, 1, 1, 2, 3]
b^3 =
[7, 6, 4, 4, 6]
[6, 7, 6, 4, 4]
[4, 6, 7, 6, 4]
[4, 4, 6, 7, 6]
[6, 4, 4, 6, 7]
b^4 =
[19, 17, 14, 14, 17]
[17, 19, 17, 14, 14]
[14, 17, 19, 17, 14]
[14, 14, 17, 19, 17]
[17, 14, 14, 17, 19]

发现神马没有。就是无论是b的几次幂,都符合A[i][j] = A[i-1][j-1]
高手说是这样推倒出来地:
““”
利用矩阵A,B具有a[i][j]=A[i-1][j-1],B[i][j]=B[i-1][j-1](i-1<0则表示i-1+n,j-1<0则表示j-1+n)
我们可以得出矩阵C=a*b也具有这个性质
C[i][j]=sum(A[i][t]*B[t][j])=sum(A[i-1][t-1],B[t-1][j-1])=sum(A[i-1][t],B[t][j-1])=C[i-1][j-1]
“”“

这样就可以开一个N大小的数组来存放每次计算的结果了。而没必要用NxN。
N的问题解决了,但是k还是很大,怎么办?

这时候可以用二分法来求b^k
b^k = b^1 * b^4 * b^16 。。。

计算过程中,必定会出现数字大于M的情况。
切记 x*y = (x%M)*(y%M)

最后,经过多次优化,这题的代码居然被高手写成了如下的一小坨,实在是。。给力哇

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,d,k;
void mul(long long a[],long long b[])
{
      
int i,j;
      
long long c[501];
      
for(i=0;i<n;++i)for(c[i]=j=0;j<n;++j)c[i]+=a[j]*b[i>=j?(i-j):(n+i-j)];
      
for(i=0;i<n;b[i]=c[i++]%m);                     
}
long long init[501],tmp[501];
int main()
{
    
int i,j;
    scanf(
"%d%d%d%d",&n,&m,&d,&k);
    
for(i=0;i<n;++i)scanf("%I64d",&init[i]);
    
for(tmp[0]=i=1;i<=d;++i)tmp[i]=tmp[n-i]=1;
    
while(k)
    {
            
if(k&1)mul(tmp,init);
            mul(tmp,tmp);
            k
>>=1;     
    }
    
for(i=0;i<n;++i)if(i)printf(" %I64d",init[i]);else printf("%I64d",init[i]);
    printf(
"\n");
    
return 0;
}




posted on 2011-02-08 16:07 糯米 阅读(2717) 评论(3)  编辑 收藏 引用 所属分类: POJ

评论

# re: POJ 3150 Cellular Automaton 矩阵乘法+二分  回复  更多评论   

学习一下
2011-02-11 16:16 | 水星家纺

# re: POJ 3150 Cellular Automaton 矩阵乘法+二分  回复  更多评论   

lz给力,转走了
2011-08-23 15:02 | Nonesome

# re: POJ 3150 Cellular Automaton 矩阵乘法+二分  回复  更多评论   

大仙的程序看不懂╭(;ŎдŎ)╮
2014-01-09 20:48 | llq

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