(转)质数算法大全,及C程序实现优化详解 (二) 筛选法

质数的定义

一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数,又称素数。

在上文 《素数算法大全,及C程序实现优化详解 (一) 试除法》中我们已经探讨了求解素数的一类算法,并且将试除法从最初的低效版本优化的高效的V2。那么,还有没有其它更佳算法呢?这就是下面三藏要和大家探讨的内容

合数过滤筛选法

算法描述:我们知道,素数N不能被2~(N-1)间的任何数整除;反过来看,只要能被2~(N-1)间的任何数整除的N,都不是素数。所以我们可以采用一个简单的排除法:就是对N以内的所有数,只要逐个去除值为2~(N-1)的倍数的数,剩下的就是素数。

C语言实现

// 合数过滤筛选法 Ver1 
// 参数:n 求解n以内(包括n)的素数
// 返回值:n以内素数个数
int CompositeNumFilterV1(int n)
{
 int i, j;
 // 素数数量统计
 int count = 0;
 // 分配素数标记空间,结合后文思考为何+1
 char* flag = (char*)malloc( n+1 );
 
 // 初始化素数标记
 for (i=2; i<=n; i++)
 {
  // 为什么*(p+i)要写成flag[i]呢?可读性更佳尔
  flag[i] = 1;
 }
 
 // 写程序要注意排版和留空,方便阅读,也可减少出错几率
 // 以2~(N-1)为因子过滤合数
 for (i=2; i < n; i++)
 {
  for (j=2; i*j <= n; j++)
  {
   // i*j是由i,j两整数相乘而得,显然不是素数
   flag[i*j] = 0;
  }
 }
 
 // 统计素数个数
 for (i=2; i<=n; i++)
 {
  // 其实if(flag)就其同样作用了,但这么写是有留言的
  // 请参阅《C语言程序设计常见错误剖析及解决之道》一文
  if (1 == flag[i]) count++;
 }
  
 // 因输出费时,且和算法核心相关不大,故略
 
 // 释放内存,别忘了传说中的内存泄漏
 free(flag);
 
 return count;
}

在上文给出的main函数中以不同参数调用CompositeNumFilterV1函数,得到执行结果如下:

[100000]以内素数个数:9592, 计算用时:15毫秒
[1000000]以内素数个数:78498, 计算用时:125毫秒
[5000000]以内素数个数:348513, 计算用时:2578毫秒
[10000000]以内素数个数:664579, 计算用时:6281毫秒

注:因程序是非独占性运行的,所以时间不是完全精确的,但基本能反映实情

显然,比上文中的试除法要快,而且谁都可以看到上例是一个未经优化的粗陋版本,好多地方是三藏故意采用比较低效做法,为了与后文的优化版比较,凸显优化之重要,也为了初学者记住别采用类似低效做法,下面我们开始优化之旅

优化分析

上面CompositeNumFilterV1函数存在的问题有:

  1. 在外层循环,需要一直执行到n-1吗?不要,因为n/2~n-1间的数显然不能整出n
  2. 在内层循环中重复使用i*j显然是低效的,考虑到计算机中加减运算速度比乘除快,可以考虑变乘法为加法
  3. 在循环修改flag过程中,其实有很多数会被重复计算若干次,比如6=2*3=3*2,会被重复置0,类似操作很多,所以我们得设法避免或减少flag重复置0

据上述分析,我们可将程序优化如下:

// 合数过滤筛选法 Ver2 
// 参数:n 求解n以内(包括n)的素数
// 返回值:n以内素数个数
int CompositeNumFilterV2(int n)
{
 int i, j;
 // 素数数量统计
 int count = 0;
 // 分配素数标记空间,明白+1原因了吧,因为浪费了一个flag[0]
 char* flag = (char*)malloc( n+1 );
 
 // 初始化素数标记,要高效点咯
 flag[2] = 1;
 // 注意是i<n不是上例中的i<=n了,理由自思
 for (i=3; i<n; i++)
 {
  flag[i++] = 1;
  // 偶数自然不是素数,直接置0好了
  flag[i] = 0;
 }
 // n为奇数
 if (n%2 != 0)
 {
  flag[n] = 1;
 }
 
 // 从3开始filter,因为2的倍数早在初始化时代就干掉了
 // 到n/2止的理由还要说吗
 for (i=3; i <= n/2; i++)
 {
  // i是合数,请歇着吧,因为您的工作早有您的质因子代劳了
  if (0 == flag[i]) continue;
  
  // 从i的2倍开始过滤,变乘法为加法 
  for (j=i+i; j <= n; j+=i)
  {
   flag[j] = 0;
  }
 }
 
 // 统计素数个数
 for (i=2; i<=n; i++)
 {
  if (flag[i]) count++;
 }
  
 // 因输出费时,且和算法核心相关不大,故略
 
 // 释放内存,别忘了传说中的内存泄漏
 free(flag);
 
 return count;
}

再来调用CompositeNumFilterV2得到执行结果:

[100000]以内素数个数:9592, 计算用时:n太小,时间精度不够
[1000000]以内素数个数:78498, 计算用时:31毫秒
[5000000]以内素数个数:348513, 计算用时:453毫秒
[10000000]以内素数个数:664579, 计算用时:1062毫秒
[100000000]以内素数个数:5761455, 计算用时:12973毫秒

哇哇,比昨天的试除发快了好多倍,可见算法的威力,值得好好学习,别说学算法没用咯。

上例着那个计算一亿以内的素数只要约13秒,应该算不错了,今天是否可以休息了呢?No,我们要追求极限!

int CompositeNumFilterV3(int n)
{
 int i, j;
 // 素数数量统计
 int count = 0;
 // 分配素数标记空间,明白+1原因了吧,因为浪费了一个flag[0]
 char* flag = (char*)malloc( n+1 );
 // 干嘛用的,请仔细研究下文
 int mpLen = 2*3*5*7*11*13;
 char magicPattern[mpLen];
 // 奇怪的代码,why,思考无法代劳,想!
 for (i=0; i<mpLen; i++)
 {
  magicPattern[i++] = 1;
  magicPattern[i++] = 0;
  magicPattern[i++] = 0;
  magicPattern[i++] = 0;
  magicPattern[i++] = 1;
  magicPattern[i] = 0;
 }
 for (i=4; i<=mpLen; i+=5)
  magicPattern[i] = 0;
 for (i=6; i<=mpLen; i+=7)
  magicPattern[i] = 0;
 for (i=10; i<=mpLen; i+=11)
  magicPattern[i] = 0;
 for (i=12; i<=mpLen; i+=13)
  magicPattern[i] = 0;
 
 // 新的初始化方法,将2,3,5,7,11,13的倍数全干掉
 // 而且采用memcpy以mpLen长的magicPattern来批量处理
 int remainder = n%mpLen;
 char* p = flag+1;
 char* pstop = p+n-remainder;
 while (p < pstop)
 {
  memcpy(p, magicPattern, mpLen);
  p += mpLen;
 }
 if (remainder > 0)
 {
  memcpy(p, magicPattern, remainder);
 }
 flag[2] = 1;
 flag[3] = 1;
 flag[5] = 1;
 flag[7] = 1;
 flag[11] = 1;
 flag[13] = 1;
 
 // 从17开始filter,因为2,3,5,7,11,13的倍数早被kill了
 // 到n/13止的,哈哈,少了好多吧
 int stop = n/13;
 for (i=17; i <= stop; i++)
 {
  // i是合数,请歇着吧,因为您的工作早有您的质因子代劳了
  if (0 == flag[i]) continue;
  
  // 从i的17倍开始过滤
  int step = i*2;
  for (j=i*17; j <= n; j+=step)
  {
   flag[j] = 0;
  }
 }
 
 // 统计素数个数
 for (i=2; i<=n; i++)
 {
  if (flag[i]) count++;
 }
  
 // 因输出费时,且和算法核心相关不大,故略
 
 // 释放内存,别忘了传说中的内存泄漏
 free(flag);
 
 return count;
}

再看CompositeNumFilterV3执行结果:

[1000000]以内素数个数:78498, 计算用时:15毫秒
[5000000]以内素数个数:348513, 计算用时:203毫秒
[10000000]以内素数个数:664579, 计算用时:515毫秒
[100000000]以内素数个数:5761455, 计算用时:6421毫秒

再次优化后速度提升了又一倍左右,三藏不禁有点满足了,睡觉也!

posted on 2009-05-14 15:48 小虫虫 阅读(798) 评论(0)  编辑 收藏 引用


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