随笔 - 6  文章 - 3  trackbacks - 0
<2009年12月>
293012345
6789101112
13141516171819
20212223242526
272829303112
3456789

常用链接

留言簿(1)

随笔分类

随笔档案

搜索

  •  

最新评论

阅读排行榜

评论排行榜

题目

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路

这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。

用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为f[i-1][v];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

优化空间复杂度

以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN),其中时间复杂度应该已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到O(V)。

先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i=1..N,每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么,如果只用一个数组f[0..V],能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢?f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来,能否保证在推f[i][v]时(也即在第i次主循环中推f[v]时)能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v],这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下:

for i=1..N
   for v=V..0
      f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]},因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话,那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知,与本题意不符,但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案,故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

事实上,使用一维数组解01背包的程序在后面会被多次用到,所以这里抽象出一个处理一件01背包中的物品过程,以后的代码中直接调用不加说明。

过程ZeroOnePack,表示处理一件01背包中的物品,两个参数cost、weight分别表明这件物品的费用和价值。

procedure ZeroOnePack(cost,weight)
   for v=V..cost
      f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成v=V..0是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了,避免不必要的思维复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了,就可以加入优化。费用为cost的物品不会影响状态f[0..cost-1],这是显然的。

有了这个过程以后,01背包问题的伪代码就可以这样写:

for i=1..N
   ZeroOnePack(c[i],w[i]);

初始化的细节问题

我们看到的求最优解的背包问题题目中,事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解,有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞,这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满,而是只希望价格尽量大,初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

为什么呢?可以这样理解:初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”,其它容量的背包均没有合法的解,属于未定义的状态,它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满,那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”,这个解的价值为0,所以初始时状态的值也就全部为0了。

这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题,后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。

一个常数优化

前面的伪代码中有 for v=V..1,可以将这个循环的下限进行改进。

由于只需要最后f[v]的值,倒推前一个物品,其实只要知道f[v-w[n]]即可。以此类推,对以第j个背包,其实只需要知道到f[v-sum{w[j..n]}]即可,即代码中的

for i=1..N
   for v=V..0

可以改成

for i=1..n
   bound=max{V-sum{w[i..n]},c[i]}
   for v=V..bound

这对于V比较大时是有用的。

小结

01背包问题是最基本的背包问题,它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想,另外,别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法,状态转移方程的意义,以及最后怎样优化的空间复杂度。

代码

#include<stdio.h>
#include
<string.h>
#define MINUSINF 0x80000000
#define MAXN 100
#define MAXV 1000
int max(int a,int b)
{
    
return a>b?a:b;
}
 
//n件物品和一个容量为v的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i],装满与否要求为full
//算法1:经典DP二维数组解法,时间复杂度及空间复杂度均为O(nv) 
int ZeroOnePack1(int n,int v,int c[],int w[],int full)
{
    
int i,j;
    
int f[MAXN][MAXV];
    
if(full)
    
{
        
for(i=0;i<=n;i++)
            
for(j=0;j<=v;j++
                f[i][j]
=MINUSINF;
        f[
0][0]=0;
    }
 
    
else memset(f,0,sizeof(f));
    
for(i=1;i<=n;i++)
    
{
        
for(j=0;j<=v;j++)
        
{
            
if(j>=c[i])
                f[i][j]
=max(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]);
            
else f[i][j]=f[i-1][j];
        }

    }

    
if(f[n][v]<0return -1;
    
else return f[n][v];
}

//算法2:算法1的一维数组解法,时间复杂度为O(nv),空间复杂度为O(v)
int ZeroOnePack2(int n,int v,int c[],int w[],int full)
{
    
int i,j;
    
int f[MAXV];
    
if(full)
    
{
        f[
0]=0;
        
for(i=1;i<=v;i++
            f[i]
=MINUSINF;
    }

    
else memset(f,0,sizeof(f));
    
for(i=1;i<=n;i++)
    
{
        
for(j=v;j>=0;j--)
        
{
            
if(j>=c[i])
                f[j]
=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
        }

    }

    
if(f[v]<0return -1;
    
else return f[v];
}

//算法3:算法2的优化,去掉了无必要的判断,时间复杂度为O(nv),空间复杂度为O(v)
int ZeroOnePack3(int n,int v,int c[],int w[],int full)
{
    
int i,j;
    
int f[MAXV];
    
if(full)
    
{
        f[
0]=0;
        
for(i=1;i<=v;i++
            f[i]
=MINUSINF;
    }

    
else memset(f,0,sizeof(f));
    
for(i=1;i<=n;i++)
    
{
        
for(j=v;j>=c[i];j--)
        
{
            f[j]
=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
        }

    }

    
if(f[v]<0return -1;
    
else return f[v];
}

//算法4:算法3的常数优化,在v较大时优势明显,时间复杂度为O(nv),空间复杂度为O(v)
int ZeroOnePack4(int n,int v,int c[],int w[],int full)
{
    
int i,j,sum=0,bound;
    
int f[MAXV];
    
if(full)
    
{
        f[
0]=0;
        
for(i=1;i<=v;i++
            f[i]
=MINUSINF;
    }

    
else memset(f,0,sizeof(f));
    
for(i=1;i<=n;i++) sum+=w[i];
    
for(i=1;i<=n;i++)
    
{
        
if(i>1) sum-=w[i-1];
        bound
=max(v-sum,c[i]);
        
for(j=v;j>=bound;j--)
        
{
            f[j]
=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
        }

    }

    
if(f[v]<0return -1;
    
else return f[v];
}

int main()
{
    
int i,j;
    
int n,v,c[MAXN],w[MAXN];
    
while(scanf("%d %d",&n,&v)!=EOF)
    
{
        
for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&c[i],&w[i]);
        printf(
"%d\n",ZeroOnePack1(n,v,c,w,0));
    }

    
return 0;
}

posted on 2009-04-06 11:43 姚冰 阅读(755) 评论(2)  编辑 收藏 引用 所属分类: 背包问题

FeedBack:
# re: P01:01背包问题 2009-07-20 17:43 西陵寻梦
非常不错,总算看懂背包问题了,真是谢谢楼主啊  回复  更多评论
  
# re: P01:01背包问题 2009-12-03 18:00 makediff
包的容量和cost有关系么?每个物品的容量在哪儿?  回复  更多评论
  

只有注册用户登录后才能发表评论。
【推荐】超50万行VC++源码: 大型组态工控、电力仿真CAD与GIS源码库
网站导航: 博客园   IT新闻   BlogJava   知识库   博问   管理