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<2009年4月>
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题目

有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量,且价值总和最大。

基本思路

这个问题非常类似于01背包问题,所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑,与它相关的策略已并非取或不取两种,而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路,令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程,像这样:

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

这跟01背包问题一样有O(VN)个状态需要求解,但求解每个状态的时间已经不是常数了,求解状态f[i][v]的时间是O(v/c[i]),总的复杂度可以认为是O(V*Σ(V/c[i])),是比较大的。

将01背包问题的基本思路加以改进,得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要,可以推及其它类型的背包问题。但我们还是试图改进这个复杂度。

一个简单有效的优化

完全背包问题有一个很简单有效的优化,是这样的:若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j],则将物品j去掉,不用考虑。这个优化的正确性显然:任何情况下都可将价值小费用高得j换成物美价廉的i,得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据,这个方法往往会大大减少物品的件数,从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度,因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。

这个优化可以简单的O(N^2)地实现,一般都可以承受。另外,针对背包问题而言,比较不错的一种方法是:首先将费用大于V的物品去掉,然后使用类似计数排序的做法,计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个,可以O(V+N)地完成这个优化。这个不太重要的过程就不给出伪代码了,希望你能独立思考写出伪代码或程序。

转化为01背包问题求解

既然01背包问题是最基本的背包问题,那么我们可以考虑把完全背包问题转化为01背包问题来解。最简单的想法是,考虑到第i种物品最多选V/c[i]件,于是可以把第i种物品转化为V/c[i]件费用及价值均不变的物品,然后求解这个01背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度,但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为01背包问题的思路:将一种物品拆成多件物品。

更高效的转化方法是:把第i种物品拆成费用为c[i]*2^k、价值为w[i]*2^k的若干件物品,其中k满足c[i]*2^k<=V。这是二进制的思想,因为不管最优策略选几件第i种物品,总可以表示成若干个2^k件物品的和。这样把每种物品拆成O(log V/c[i])件物品,是一个很大的改进。

但我们有更优的O(VN)的算法。

O(VN)的算法

这个算法使用一维数组,先看伪代码:

for i=1..N
   for v=0..V
      f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}

你会发现,这个伪代码与P01的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢?首先想想为什么P01中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说,这正是为了保证每件物品只选一次,保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时,依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件,所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时,却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]],所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。

值得一提的是,上面的伪代码中两层for循环的次序可以颠倒。这个结论有可能会带来算法时间常数上的优化。

这个算法也可以以另外的思路得出。例如,将基本思路中求解f[i][v-c[i]]的状态转移方程显式地写出来,代入原方程中,会发现该方程可以等价地变形成这种形式:

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}

将这个方程用一维数组实现,便得到了上面的伪代码。

最后抽象出处理一件完全背包类物品的过程伪代码:

procedure CompletePack(cost,weight)
   for v=cost..V
      f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

总结

完全背包问题也是一个相当基础的背包问题,它有两个状态转移方程,分别在“基本思路”以及“O(VN)的算法“的小节中给出。希望你能够对这两个状态转移方程都仔细地体会,不仅记住,也要弄明白它们是怎么得出来的,最好能够自己想一种得到这些方程的方法。事实上,对每一道动态规划题目都思考其方程的意义以及如何得来,是加深对动态规划的理解、提高动态规划功力的好方法。

代码

#include<stdio.h>
#include
<string.h>
#include
<stdlib.h>
#define MINUSINF 0x80000000 
#define MAXN 100
#define MAXV 1000
int max(int a,int b)
{
    
return a>b?a:b;
}
 
struct Pack
{
    
int c;
    
int w;
}
;
int cmp( const void *a ,const void *b) 

    
struct Pack *d=(Pack *)a; 
    
struct Pack *e=(Pack *)b; 
    
if(d->c!=e->c) return d->c-e->c; 
    
else return e->w-d->w; 
}

//n种物品和一个容量为v的背包,每种物品都有无限件可用。
//第i种物品的费用是c[i],价值是w[i],装满与否要求为full
//算法1:基本思路解法,时间复杂度为O(v*Σ(v/c[i])),空间复杂度为O(nv) 
int CompletePack1(int n,int v,int c[],int w[],int full)
{
    
int i,j,k,current;
    
int f[MAXN][MAXV];
    
if(full)
    
{
        
for(i=0;i<=n;i++)
            
for(j=0;j<=v;j++
                f[i][j]
=MINUSINF;
        f[
0][0]=0;
    }
 
    
else memset(f,0,sizeof(f));
    
for(i=1;i<=n;i++)
    
{
        
for(j=0;j<=v;j++)
        
{
            current
=MINUSINF;
            
for(k=0;k<=j/c[i];k++)
            
{
                f[i][j]
=max(current,f[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
                current
=f[i][j];
            }

        }

    }

    
if(f[n][v]<0return -1;
    
else return f[n][v];
}

//算法2:基本思路解法的简单优化,时间复杂度为O(v*Σ(v/c[i])),空间复杂度为O(nv) 
int Optimization(int n,int v,int c[],int w[],int selected[])
{
    Pack pack[MAXN];
    
int i;
    memset(selected,
0,sizeof(selected));
    
for(i=0;i<n;i++)
    
{
        pack[i].c
=c[i+1];
        pack[i].w
=w[i+1];
    }

    qsort(pack,n,
sizeof(pack[0]),cmp);
    
for(i=0;i<n;i++)
    
{
        c[i
+1]=pack[i].c;
        w[i
+1]=pack[i].w;
    }

    
for(i=1;i<n;i++)
    
{
        
if(c[i]!=c[i+1]) continue;
        
else selected[i+1]=-1;
    }

}

int CompletePack2(int n,int v,int c[],int w[],int full)
{
    
int i,j,k,current;
    
int f[MAXN][MAXV];
    
int selected[MAXN];
    
if(full)
    
{
        
for(i=0;i<=n;i++)
            
for(j=0;j<=v;j++
                f[i][j]
=MINUSINF;
        f[
0][0]=0;
    }
 
    
else memset(f,0,sizeof(f));
    Optimization(n,v,c,w,selected);
    
for(i=1;i<=n;i++)
    
{
        
if(selected[i]==-1continue;
        
for(j=0;j<=v;j++)
        
{
            current
=MINUSINF;
            
for(k=0;k<=j/c[i];k++)
            
{
                f[i][j]
=max(current,f[i-1][j-k*c[i]]+k*w[i]);
                current
=f[i][j];
            }

        }

    }

    
if(f[n][v]<0return -1;
    
else return f[n][v];
}

//算法3:一维数组解法,时间复杂度为O(nv),空间复杂度为O(v)
int CompletePack3(int n,int v,int c[],int w[],int full)
{
    
int i,j;
    
int f[MAXV];
    
if(full)
    
{
        f[
0]=0;
        
for(i=1;i<=v;i++
            f[i]
=MINUSINF;
    }

    
else memset(f,0,sizeof(f));
    
for(i=1;i<=n;i++)
    
{
        
for(j=c[i];j<=v;j++)
        
{
            f[j]
=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
        }

    }

    
if(f[v]<0return -1;
    
else return f[v];
}

int main()
{
    
int i,j;
    
int n,v,c[MAXN],w[MAXN];
    
while(scanf("%d %d",&n,&v)!=EOF)
    
{
        
for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&c[i],&w[i]);
        printf(
"%d\n",CompletePack1(n,v,c,w,0));
    }

    
return 0;
}

posted on 2009-04-07 20:16 姚冰 阅读(1178) 评论(0)  编辑 收藏 引用 所属分类: 背包问题

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