差分约束(difference constraints),对,两个关键字要理解好,“difference”简单理解就是两个节点的“差”,对应的就是图中的边权,而“约束”对应的是图的边。这个图的边权不一定都是正数,之前我一直很奇怪为什么做最短路的时候初始化dis[]为了0也可以,那是因为我没意识到边权可以为负数,而思维定势地想初始化dis[]为0,那0不就是最小路径了吗,但这里差分约束的最短路径常常是负数的,所以最短路径可以不是0!!
看网上讲解的时候要小心,很多人把最长路和最短路是不分的,乱死了。
还有很重要的一点很多人没区分开,
    求最小可行解 ==> 把不等式划为dv >= dx + Z的形式,即建立<u,v,Z>边 ==> 可行解要最小,其实就是取约束条件中`最大`的约束 ==> 求最长路
    解释:为什么求最小可行解要划成dv >= dx + Z形式?因为这个形式暗指了“让dv尽量小”,因为此刻dv的取值区间为[du+Z, ∞]。
          为什么可行解最小,即意味着取最大约束条件?这样想,如果有dv >= du + Z1, dv >= du + Z2,(Z1<Z2),那dv的最小取值就是du+Z2,因为du+Z1不满足第二个约束条件。
          最后一步就好理解了,因为建图的边权就是约束值,既然上一步指要取最大约束,那当然是求最长路啦。
          网上很多讲解没有区分开所谓的最大/最小,一会儿指可行解的最,一会儿指约束条件的最,弄得我乱了好久。
  顺便贴一下:
    求最大可行解 ==> 把不等式划为dv <= dx + Z的形式,即建立<u,v,Z>边 ==> 其实就是取约束条件中`最小`约束 ==> 求最短路
    关于源点:很多时候额外价格源点可以帮我们把一个非连通图变成连通图,而对于源点的不等式,一定要和你之前建边时的不等式形式一样,如果之前是dv >= du + Z,那源点也要dv >= d0 + xxx。这个xxx就是dis[]的初始值,关于如何选取xxx,下面两句话摘自百度百科:
    “
     1.如果将源点到各点的距离初始化为0,最终求出的最短路满足 它们之间相互最接近了
     2.如果将源点到各点的距离初始化为INF(无穷大),其中之1为0,最终求出的最短路满足 它们与该点之间相互差值最大。
    ”
    差分约束题目我一般是用SPFA+栈,为什么不用dijkstra+heap?因为dijkstra不能处理负环,而我们的题目可能有负环,所以干脆都用SPFA了,多数条件下,用stack的SPFA比用queue的快,why?因为常常地,用最先更新了的点去更新其它点,效果比用以前已经更新了的点(在queue的tail)好。
差分约束专题:http://972169909-qq-com.iteye.com/blog/1185527
poj 1201  差分约束
题意:求符合题意的最小集合Z的元素个数,约束条件:i j C,表区间[i,j]至少有C个Z集合的元素。
隐含条件是,S区间是个连续的数字区间,0 <= s[i+1] - s[i] <= 1,其中s[i]表0~i中有多少数字是Z集合元素。下面是隐含条件的建边。
    for(int i = 0; i < 50001; i++) {    //@
        vert[i].push_back(i+1); edge[i].push_back(0);
        vert[i+1].push_back(i); edge[i+1].push_back(-1);
    }
poj 1364  差分约束
题意:约束条件:i, n, op, K --> op分greater和less,需要满足Si + S[i+1] + S[i+2] + ... + S[i+n] > K (或小于)
因为我是用dis[i]表示S0+S1+...+Si的和,所以<u,v,w>应该表示的意思是sum[v]-sum[u-1] = w,所以这里0也是一个点,所以源点不能取0!
//@ ?? 我在SPFA后面输出了dis[]数组来看,这些值并不符合题目的要求,那为什么整个程序是对的?如果要输出一个解的话怎么写?
    答:因为这里的dis[i]表示的是s1+s2+...+si的和,用第一个样例来说,
    sample input:
        4 2
        1 2 gt 0
        2 2 lt 2
    输出的dis[0--n] : -1 0 0 0 0
    s1+s2+s3 = sum[3] - sum[1-1] = dis[3] - dis[0] = 1 , 满足gt 0
    s2+s3+s4 = sum[4] - sum[2-1] = dis[4] - dis[1] = 0 , 满足lt 2
    所以,{si}的一组解应该为0,1,0,0,0.
poj 1983    差分约束
题意:给出两种约束条件,一种是P A B X,意为精确地约束A比B远X个单位;另一种V A B,意为模糊地约束A至少比B远1个单位。是否有可行解?
好点:两种约束条件,其中Precise约束可以转换为X <= A-B <= X
      有V i i 这种数据,这种数据在SPFA里会WA,在ballman_ford里AC,不过预处理一下就可以了,还是用SPFA.
hdu 3666  差分约束
题意:给出矩阵{Cij},问是否存在数列{A} 和 {B},使得对于矩阵内所有Xij满足: L <= Xij * Ai / Bj <= U 
构图。用log把乘除变成加减,就可以差分约束来做了。我用的是SPFA+stack求最短路,最长路应该也是可以的。没有建源点,直接一开>始把所有点push进去...  14xx ms 过挺险的~