最小费用最大流 修改的dijkstra + Ford-Fulksonff算法
修改的dijkstra其实和Johnson算法的思想是一致的。
一个求最小费用最大流的朴素算法是这样的：
1 求最小费用增广路
2 判断是否存在增广路，否的话算法终止。
3 增加增广路上边的流量
4 在增广路上添加必要的逆向负权边
5 goto 1
因为负权边的存在，求最小费用增广路就不可以用dijkstra算法。当然，我们可以用bellman-ford算法，可是这样的话求一次最短路的时间代价就是O(e*n)，e是边数，n是顶点数。代价大了点，如果能用dijkstra算法就好了。利用Johnson算法的思想，这是可以做到的。
第一次求最短路可以用dijkstra算法（如果一开始就有负权边，那就用bellman-ford算法，这没关系），求出源点到所有点的距离，嗯，我说的距离是指路径上边的费用之和的最小值。注意，要求出到所有点的距离，而不是求出到汇点的距离就完事了。
假设有一条边u->v，源点到u的距离是d[u]，到v的距离是d[v]，边的费用（权值）是w(u，v)。很显然，d[u]+w(u,v)>=d[v]，不然的话，你会发现一条更好的路径从源点到v。问题是，什么时候取等呢？当u->v在v的最优路径上，范围说小一点，当u->v在从源点到汇点的最优路径，即最小费用增广路上。
好的，如果u->v被你增载了，你要开始添负权边v->u了，权值取负，就是-w(u,v)。负权就是讨厌，是正的就好了，dijkstra算法就可以再用了。怎么办呢，把负权边加个权值，让它非负。要加多少呢，d[v]-d[u]。当然不能只加一条边，对所有边，无论原有的还是新添的，按这个规则加，构造一个新的图：
对边a->b，新的边权w'(a,b)=w(a,b)+d[a]-d[b]
现在来看看你的杰作：
对原来的边u->v, w'(u,v)=w(u,v)+d[u]-d[v]: 记得么d[u]+w(u,v)>=d[v], 所以 w'(u,v) >= 0
对新加的负权边v->u, w'(v,u)=w(v,u)+d[v]-d[u]=-w(u,v)+d[v]-d[u]: 记得么d[u]+w(u,v)==d[v]，这里可是取等号的，所以w'(v,u) == 0
哈哈，这下所有边又是非负的了。
可是，问题是，为啥不每个边加个足够大的正数，这样不是所有边也都是正的了么。仔细想想，边权为啥要为正，不就是为了求源点到汇点的最短路方便么，可是，都加大正数的话，你求出的最短路和原来图的最短路能一致么，不能，为啥，画个三角形，自己想想。可是，我的方法就能一致么，能。我证明给你看。
假设从源点s到汇点t有一条路径s->a->b->c->d
.->t,在原图中的路径长度为
w(s,a)+w(a,b)+w(b,c)++w(x,t)
在新图中的路径为
w'(s,a)+w'(a,b)+w'(b,c)+w'(x,t)
展开来就是
w(s,a)+d[a]-d[s]+w(a,b)+d[b]-d[a]+w(c,d)+d[d]-d[b]+.+w(x,t)+d[t]-d[x]
消阿消，d[a]和-d[a]，d[b]和-d[b]d[x]和-d[x]，剩下什么呢：
w(s,a)+w(a,b)+w(b,c)++w(x,t)+d[t]-d[s]
噢，不就比原图中多d[t]-d[s]么（其实d[s]==0）。这可是对所有s到t的路径都成立的，既然所有路径，在新图中的权值都比在原图中的权值多了d[t]，那么，新图的最短路，也就对应原图的最短路，只不过路径长度多了d[t]，这不仅对t成立，对所有节点u都成立，只不过新图中到u的最短路长度比原图多了d[u]。
好，用dijkstra算法，第二次求出最短路。然后求出新的d’[u]，然后添加新的边，然后准备第三次的dijkstra算法。。。为什么第二次可以这样做，第三次还可以这样做，第三次的原图可能有很多负权边啊？我可没说过w(u,v)>=0这样的限制，所以，即使原图有负权边还是可以这样做的。
好了，第一次dijkstra算法（或者bellman-ford算法，如果有负权边的话，只用一次，不会成为瓶颈的），然后每次求最小增广路用一次修改的dijkstra算法。这个算法求最小费用最大流复杂度是O(m*n*n), m是最大流量，或者是求增广路次数的上界。最后，如果用这个算法来求最优匹配问题，复杂度是O(n^3)的。
posted on 2008-08-03 20:49
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