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一步一步写平衡二叉树(AVL树)

Posted on 2012-08-20 17:11 C小加 阅读(42320) 评论(23)  编辑 收藏 引用 所属分类: 数据结构和算法

一步一步写平衡二叉树(AVL树)

作者:C小加 更新时间:2012-8-20

  平衡二叉树(Balanced Binary Tree)是二叉查找树的一个进化体,也是第一个引入平衡概念的二叉树。1962年,G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis发明了这棵树,所以它又叫AVL树。平衡二叉树要求对于每一个节点来说,它的左右子树的高度之差不能超过1,如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1,就要进行节点之间的旋转,将二叉树重新维持在一个平衡状态。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题,把插入,查找,删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间,不过相对二叉查找树来说,时间上稳定了很多。

  平衡二叉树实现的大部分过程和二叉查找树是一样的(学平衡二叉树之前一定要会二叉查找树),区别就在于插入和删除之后要写一个旋转算法去维持平衡,维持平衡需要借助一个节点高度的属性。我参考了机械工业出版社的《数据结构与算法分析-C语言描述》写了一个C++版的代码。这本书的AVLTree讲的很好,不过没有很完整的去描述。我会一步一步的讲解如何写平衡二叉树,重点是平衡二叉树的核心部分,也就是旋转算法。

第一步:节点信息

  相对于二叉查找树的节点来说,我们需要用一个属性二叉树的高度,目的是维护插入和删除过程中的旋转算法。

代码如下:

//AVL树节点信息
template<class T>
class TreeNode
{
    public:
        TreeNode():lson(NULL),rson(NULL),freq(1),hgt(0){}
        T data;//
        int hgt;//以此节点为根的树的高度
        unsigned int freq;//频率
        TreeNode* lson;//指向左儿子的地址
        TreeNode* rson;//指向右儿子的地址
};

第二步:平衡二叉树类的声明

  声明中的旋转函数将在后边的步骤中详解。

代码如下:

//AVL树类的属性和方法声明
template<class T>
class AVLTree
{
    private:
        TreeNode<T>* root;//根节点
        void insertpri(TreeNode<T>* &node,T x);//插入
        TreeNode<T>* findpri(TreeNode<T>* node,T x);//查找
        void insubtree(TreeNode<T>* node);//中序遍历
        void Deletepri(TreeNode<T>* &node,T x);//删除
        int height(TreeNode<T>* node);//求树的高度
        void SingRotateLeft(TreeNode<T>* &k2);//左左情况下的旋转
        void SingRotateRight(TreeNode<T>* &k2);//右右情况下的旋转
        void DoubleRotateLR(TreeNode<T>* &k3);//左右情况下的旋转
        void DoubleRotateRL(TreeNode<T>* &k3);//右左情况下的旋转
        int Max(int cmpa,int cmpb);//求最大值

    public:
        AVLTree():root(NULL){}
        void insert(T x);//插入接口
        TreeNode<T>* find(T x);//查找接口
        void Delete(T x);//删除接口
        void traversal();//遍历接口

};

第三步:两个辅助方法

  旋转算法需要借助于两个功能的辅助,一个是求树的高度,一个是求两个高度的最大值。这里规定,一棵空树的高度为-1,只有一个根节点的树的高度为0,以后每多一层高度加1。为了解决指针NULL这种情况,写了一个求高度的函数,这个函数还是很有必要的。

代码如下:

//计算以节点为根的树的高度
template<class T>
int AVLTree<T>::height(TreeNode<T>* node)
{
    if(node!=NULL)
        return node->hgt;
    return -1;
}
//求最大值
template<class T>
int AVLTree<T>::Max(int cmpa,int cmpb)
{
    return cmpa>cmpb?cmpa:cmpb;
}

第四步:旋转

  对于一个平衡的节点,由于任意节点最多有两个儿子,因此高度不平衡时,此节点的两颗子树的高度差2.容易看出,这种不平衡出现在下面四种情况:

  1、6节点的左子树3节点高度比右子树7节点大2,左子树3节点的左子树1节点高度大于右子树4节点,这种情况成为左左

  2、6节点的左子树2节点高度比右子树7节点大2,左子树2节点的左子树1节点高度小于右子树4节点,这种情况成为左右

  3、2节点的左子树1节点高度比右子树5节点小2,右子树5节点的左子树3节点高度大于右子树6节点,这种情况成为右左

  4、2节点的左子树1节点高度比右子树4节点小2,右子树4节点的左子树3节点高度小于右子树6节点,这种情况成为右右

  从图2中可以可以看出,1和4两种情况是对称的,这两种情况的旋转算法是一致的,只需要经过一次旋转就可以达到目标,我们称之为单旋转。2和3两种情况也是对称的,这两种情况的旋转算法也是一致的,需要进行两次旋转,我们称之为双旋转。

第五步:单旋转

  单旋转是针对于左左和右右这两种情况的解决方案,这两种情况是对称的,只要解决了左左这种情况,右右就很好办了。图3是左左情况的解决方案,节点k2不满足平衡特性,因为它的左子树k1比右子树Z深2层,而且k1子树中,更深的一层的是k1的左子树X子树,所以属于左左情况。


  为使树恢复平衡,我们把k2变成这棵树的根节点,因为k2大于k1,把k2置于k1的右子树上,而原本在k1右子树的Y大于k1,小于k2,就把Y置于k2的左子树上,这样既满足了二叉查找树的性质,又满足了平衡二叉树的性质。

  这样的操作只需要一部分指针改变,结果我们得到另外一颗二叉查找树,它是一棵AVL树,因为X向上一移动了一层,Y还停留在原来的层面上,Z向下移动了一层。整棵树的新高度和之前没有在左子树上插入的高度相同,插入操作使得X高度长高了。因此,由于这颗子树高度没有变化,所以通往根节点的路径就不需要继续旋转了。

代码如下:

//左左情况下的旋转
template<class T>
void AVLTree<T>::SingRotateLeft(TreeNode<T>* &k2)
{
    TreeNode<T>* k1;
    k1=k2->lson;
    k2->lson=k1->rson;
    k1->rson=k2;

    k2->hgt=Max(height(k2->lson),height(k2->rson))+1;
    k1->hgt=Max(height(k1->lson),k2->hgt)+1;
}
//右右情况下的旋转
template<class T>
void AVLTree<T>::SingRotateRight(TreeNode<T>* &k2)
{
    TreeNode<T>* k1;
    k1=k2->rson;
    k2->rson=k1->lson;
    k1->lson=k2;

    k2->hgt=Max(height(k2->lson),height(k2->rson))+1;
    k1->hgt=Max(height(k1->rson),k2->hgt)+1;
}

第六步:双旋转

  对于左右和右左这两种情况,单旋转不能使它达到一个平衡状态,要经过两次旋转。双旋转是针对于这两种情况的解决方案,同样的,这样两种情况也是对称的,只要解决了左右这种情况,右左就很好办了。图4是左右情况的解决方案,节点k3不满足平衡特性,因为它的左子树k1比右子树Z深2层,而且k1子树中,更深的一层的是k1的右子树k2子树,所以属于左右情况。

   为使树恢复平衡,我们需要进行两步,第一步,把k1作为根,进行一次右右旋转,旋转之后就变成了左左情况,所以第二步再进行一次左左旋转,最后得到了一棵以k2为根的平衡二叉树树。

代码如下:

//左右情况的旋转
template<class T>
void AVLTree<T>::DoubleRotateLR(TreeNode<T>* &k3)
{
    SingRotateRight(k3->lson);
    SingRotateLeft(k3);
}
//右左情况的旋转
template<class T>
void AVLTree<T>::DoubleRotateRL(TreeNode<T>* &k3)
{
    SingRotateLeft(k3->rson);
    SingRotateRight(k3);
}

 第七步:插入

  插入的方法和二叉查找树基本一样,区别是,插入完成后需要从插入的节点开始维护一个到根节点的路径,每经过一个节点都要维持树的平衡。维持树的平衡要根据高度差的特点选择不同的旋转算法。

代码如下:

//插入
template<class T>
void AVLTree<T>::insertpri(TreeNode<T>* &node,T x)
{
    if(node==NULL)//如果节点为空,就在此节点处加入x信息
    {
        node=new TreeNode<T>();
        node->data=x;
        return;
    }
    if(node->data>x)//如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中插入x
    {
        insertpri(node->lson,x);
        if(2==height(node->lson)-height(node->rson))
            if(x<node->lson->data)
                SingRotateLeft(node);
            else
                DoubleRotateLR(node);
    }
    else if(node->data<x)//如果x大于节点的值,就继续在节点的右子树中插入x
    {
        insertpri(node->rson,x);
        if(2==height(node->rson)-height(node->lson))//如果高度之差为2的话就失去了平衡,需要旋转
            if(x>node->rson->data)
                SingRotateRight(node);
            else
                DoubleRotateRL(node);
    }
    else ++(node->freq);//如果相等,就把频率加1
    node->hgt=Max(height(node->lson),height(node->rson));
}
//插入接口
template<class T>
void AVLTree<T>::insert(T x)
{
    insertpri(root,x);
}

第八步:查找

和二叉查找树相比,查找方法没有变法,不过根据存储的特性,AVL树能维持在一个O(logN)的稳定的时间,而二叉查找树则相当不稳定。

代码如下:

//查找
template<class T>
TreeNode<T>* AVLTree<T>::findpri(TreeNode<T>* node,T x)
{
    if(node==NULL)//如果节点为空说明没找到,返回NULL
    {
        return NULL;
    }
    if(node->data>x)//如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中查找x
    {
        return findpri(node->lson,x);
    }
    else if(node->data<x)//如果x大于节点的值,就继续在节点的左子树中查找x
    {
        return findpri(node->rson,x);
    }
    else return node;//如果相等,就找到了此节点
}
//查找接口
template<class T>
TreeNode<T>* AVLTree<T>::find(T x)
{
    return findpri(root,x);
}

第九步:删除

  删除的方法也和二叉查找树的一致,区别是,删除完成后,需要从删除节点的父亲开始向上维护树的平衡一直到根节点。

代码如下:

//删除
template<class T>
void AVLTree<T>::Deletepri(TreeNode<T>* &node,T x)
{
    if(node==NULL) return ;//没有找到值是x的节点
    if(x < node->data)
    {
         Deletepri(node->lson,x);//如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中删除x
         if(2==height(node->rson)-height(node->lson))
            if(node->rson->lson!=NULL&&(height(node->rson->lson)>height(node->rson->rson)) )
                DoubleRotateRL(node);
            else
                SingRotateRight(node);
    }

    else if(x > node->data)
    {
         Deletepri(node->rson,x);//如果x大于节点的值,就继续在节点的右子树中删除x
         if(2==height(node->lson)-height(node->rson))
            if(node->lson->rson!=NULL&& (height(node->lson->rson)>height(node->lson->lson) ))
                DoubleRotateLR(node);
            else
                SingRotateLeft(node);
    }

    else//如果相等,此节点就是要删除的节点
    {
        if(node->lson&&node->rson)//此节点有两个儿子
        {
            TreeNode<T>* temp=node->rson;//temp指向节点的右儿子
            while(temp->lson!=NULL) temp=temp->lson;//找到右子树中值最小的节点
            
//把右子树中最小节点的值赋值给本节点
            node->data=temp->data;
            node->freq=temp->freq;
            Deletepri(node->rson,temp->data);//删除右子树中最小值的节点
            if(2==height(node->lson)-height(node->rson))
            {
                if(node->lson->rson!=NULL&& (height(node->lson->rson)>height(node->lson->lson) ))
                    DoubleRotateLR(node);
                else
                    SingRotateLeft(node);
            }
        }
        else//此节点有1个或0个儿子
        {
            TreeNode<T>* temp=node;
            if(node->lson==NULL)//有右儿子或者没有儿子
            node=node->rson;
            else if(node->rson==NULL)//有左儿子
            node=node->lson;
            delete(temp);
            temp=NULL;
        }
    }
    if(node==NULL) return;
    node->hgt=Max(height(node->lson),height(node->rson))+1;
    return;
}
//删除接口
template<class T>
void AVLTree<T>::Delete(T x)
{
    Deletepri(root,x);
}

第十步:中序遍历

代码如下:

//中序遍历函数
template<class T>
void AVLTree<T>::insubtree(TreeNode<T>* node)
{
    if(node==NULL) return;
    insubtree(node->lson);//先遍历左子树
    cout<<node->data<<" ";//输出根节点
    insubtree(node->rson);//再遍历右子树
}
//中序遍历接口
template<class T>
void AVLTree<T>::traversal()
{
    insubtree(root);
}

第十一步:关于效率

  此数据结构插入、查找和删除的时间复杂度均为O(logN),但是插入和删除需要额外的旋转算法需要的时间,有时旋转过多也会影响效率。

  关于递归和非递归。我用的是递归的方法进行插入,查找和删除,而非递归的方法一般来说要比递归的方法快很多,但是我感觉非递归的方法写出来会比较困难,所以我还是选择了递归的方法。

  还有一种效率的问题是关于高度信息的存储,由于我们需要的仅仅是高度的差,不需要知道这棵树的高度,所以只需要使用两个二进制位就可以表示这个差。这样可以避免平衡因子的重复计算,可以稍微的加快一些速度,不过代码也丧失了相对简明性和清晰度。如果采用递归写法的话,这种微加速就更显得微乎其微了。

 

  如果有哪些不对的或者不清晰的地方请指出,我会修改并加以完善。

   附:完整代码

 

Feedback

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2012-11-13 07:21 by zhuyf87
插入函数:
node->hgt=Max(height(node->lson),height(node->rson));
是否也需要 + 1
-_- 楼主文章写的不错。
zhuyf87@163.com

# re: 一步一步写平衡二叉树(AVL树)  回复  更多评论   

2012-11-13 07:32 by zhuyf87
另外SingRotateLeft()函数,最后是否需要k2 = k1;
-_- 期待作者的回复
zhuyf87 [at] 163.com

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2012-11-13 22:26 by zhuyf87
第六步
... 因为它的左子树k1比右子树Z深2层 ...
小笔误:右子树Z -> 右子树D

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2013-05-10 11:36 by su
if(node->lson==NULL)//有右儿子或者没有儿子
node=node->rson;
else if(node->rson==NULL)//有左儿子
node=node->lson;

此处应该是 temp = node->rson;
temp =node->lson;

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2013-05-10 14:03 by su
不好意思是我分析错了

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2013-07-22 10:43 by
删除的时候维护平衡时,
if(x < node->data)
{
Deletepri(node->lson,x);//如果x小于节点的值,就继续在节点的左子树中删除x
if(2==height(node->rson)-height(node->lson))
if(node->rson->lson!=NULL&&(height(node->rson->lson)>height(node->rson->rson)) )
DoubleRotateRL(node);
else
SingRotateRight(node);
}
height(node->rons->lson)的高度不是等于0吗,求解释

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2013-09-20 10:40 by Niteip
删除那里,前面已经
if(node==NULL) return ;

后面又有一个,这是LZ失误还是我没理解到

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2013-10-05 20:28 by byd
左旋和右旋之后更新树的高度,为什么只更新K1,K2的就可以,它们的子节点都不需要更新么,这样保存下来的树的高度是不是已经出错了?

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2013-11-25 09:47 by cc
@byd
代码是错的,鉴定过。不能跑。我也纳闷,书上写的也是跟楼主一样。我自己用C语言写了一个,还没楼主这个错得这么离谱。

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2014-01-03 23:50 by sicily
首先对LZ表示感谢,不过代码确实有问题,旋转之后没做处理,反正是衔接不上root,而且root没法改变,这样导致断层,根本构成不了一颗树,希望LZ尽快改好吧。

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2014-02-11 19:51 by 老罗
博主的但旋转代码是否有问题, 个人觉得是差了一个重要的东西:
就是将转好了的k1 赋值给k 2,即 k2 = k1;

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2014-03-02 21:21 by eddy
代码有问题,RL和LR两个函数有BUG
楼主都没有调试就把代码发出来,真是误人子弟

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2014-08-14 20:27 by Andy
评论里竟然都是找错的。文章就不看了哈

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2014-12-14 02:58 by temp
@Niteip
当前节点0个儿子,删除后为NULL,直接退出,不用求hgt

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2015-03-04 19:34 by Tiey
楼主,请问一下root的指向需不需要改??

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2015-03-06 19:32 by Tiey
楼主给的完整代码有调试?对于hgt的值从头至尾都没有改变。明显是错误的。

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2015-03-07 11:32 by 路人甲
那个node->freq干吗用???虽然有诸多错误,但思想是可以借鉴的

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2015-03-08 13:29 by 匿名用户
楼主这个显然是错的,起码的连续性都给丢了。
But,建立的思路还是不错的。

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2015-05-31 23:39 by xuebabybaby
《数据结构与算法分析-C语言描述》
我去下载下来看了,好像挺不错的

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2015-07-14 17:45 by 偶阳
楼主的旋转函数写错了,至少在旋转后要对k2引用重新赋值,不过感谢楼主的分享精神

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2015-07-20 00:11 by mc
楼主,你的单旋转的代码写的有问题。更新完两个节点的高度后,需要将k2=k1重新复制,否者上层的父节点指向的子节点不对。。

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2015-09-21 11:14 by Arana
楼主,代码有问题。单旋转的结束以后,插入的时候应该还有一个比较过程。 不一定是往左边插

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2015-10-25 11:41 by kirai
freq没有用啊

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