Dijkstra算法是比较典型的最短路径算法,主要用来计算无向图中单源到其他所有节点的最短路径,且图中权值必须是非负权值。Dijkstra的主要特点是以源点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。

然而,虽然Dijkstra算法能得出最短路径的最优解,但由于它遍历计算的节点很多,所以效率低。

其算法描述如下:

(1)设S为最短距离已确定的顶点集(看作红点集),V-S是最短距离尚未确定的顶点集(看作蓝点集)。从源点s到终点v的最短路径简称为v的最短路径;s到v的最短路径长度简称为v的最短距离,并记为SD(v)。

(2)初始化。初始化时,只有源点s的最短距离是已知的(SD(s)=0),故红点集S={s},蓝点集为其他节点。源点到个节点的最短距离为连接源点和各节点的边值,若从源点到节点的路径不存在,则可假设该节点的最短路径是一条长度为无穷大的虚拟路径。

(3)在当前蓝点集中选择一个最短距离最小的蓝点来扩充红点集,以保证算法按路径长度递增的次序产生各顶点的最短路径。
PS:
        根据按长度递增序产生最短路径的思想,当前最短距离最小的蓝点k的最短路径是:
     源点,红点1,红点2,…,红点n,蓝点k
        距离为:源点到红点n最短距离 + <红点n,蓝点k>边长
     为求解方便,设置一个向量D[0..n-1],对于每个蓝点v∈ V-S,用D[v]记录从源点s到达v且除v外中间不经过任何蓝点(若有中间点,则必为红点)的“最短”路径长度(简称估计距离)。
     若k是蓝点集中估计距离最小的顶点,则k的估计距离就是最短距离,即若D[k] = min{D[i] i∈V-S},则D[k] = SD(k)。
     初始时,每个蓝点v的D[c]值应为权w<s,v>,且从s到v的路径上没有中间点,因为该路径仅含一条边<s,v>。

(4)k扩充红点集s后,蓝点集估计距离的修改。
PS:
        将k扩充到红点后,剩余蓝点集的估计距离可能由于增加了新红点k而减小,此时必须调整相应蓝点的估计距离。
     对于任意的蓝点j,若k由蓝变红后使D[j]变小,则必定是由于存在一条从s到j且包含新红点k的更短路径:P=<s,…,k,j>。且D[j]减小的新路径P只可能是由于路径<s,…,k>和边<k,j>组成。
     所以,当length(P)=D[k]+w<k,j>小于D[j]时,应该用P的长度来修改D[j]的值。

(5)当蓝点集中仅剩下最短距离为∞的蓝点,或者所有蓝点已扩充到红点集时,s到所有顶点的最短路径就求出来了。

以下是Dijkstra算法的伪代码:
Dijkstra(G,D,s)
{
    
//以下是初始化操作
    S={s};
    D[s]
=0;       //设置初始的红点集及最短距离
    for(all i 属于 V-S )do //对蓝点集中每个顶点i,设置i初始的估计距离为w<s,i>
        D[i]=G[s][i];
    
    
//以下是扩充红点集
    for (i=0;i<n-1;i++do
    {
        
//最多扩充n-1个蓝点到红点集
        D[k]=min{D[i]:all i V-S}; //在当前蓝点集中选估计距离最小的顶点k

        
if(D[k]等于∞)
            
return; //蓝点集中所有蓝点的估计距离均为∞时,表示这些顶点的最短路径不存在。

        S
=S∪{k}; //将蓝点k涂红后扩充到红点集

        
for(all j∈V-S)do   //调整剩余蓝点的估计距离
        {
            
if(D[j]>D[k]+G[k][j])
            {
                
//新红点k使原D[j]值变小时,用新路径的长度修改D[j],使j离s更近。
                D[j]=D[k]+G[k][j];
            }
        }
    }
}