1．          圆排列
圆排列个数 =P(n, r)/r= n!/( r*(n-r)! )

例：8人围着餐桌吃饭，多少种就座方式？

Ans: P(8, 8)/8=7!

2．          重排列
a.       无限重排列：n个不同元素中取r个按次序排列，每个元素可取无限次，总数为nr。

b.      有限重排列：r个不同色彩球放入n个标号的盒子，第i种彩球有ri个，总数为P(n, r) / (r1!* r2!*… rt!)

3．          非重组合：每个元素最多出现一次
C(n, r)

4．          重组合
N个不同的元素中取r个元素，允许重复取，不考虑顺序。总数为C(n+r-1, r)

5．          母函数
a.       引出：

(x1+ x2+… +xk)n的组合数学意义是将n个无区别的球放入k个编号不同的盒子里，每个盒子球数不限。多项式展开后，x1n1 *x2n2*…* xknk通过幂可以表示一组解。而这个项的系数为

C(n, n1)* C(n-n1, n2)*…* C(n-n1-n2-…-nk-1, nk)=n!/ (n1!n2!…nk! )

各系数之和为kn。

b.      普通母函数

一个序列{an}，称a0+a1x+ a2x2+…+ anxn+…这个多项式为{an}的普通母函数。

例1：（天平称物问题）有质量n1，n2…nk整数克的砝码，要称i克物体，物体在左，砝码在右。共有多少种不同的称法？

解：设有ai种方法，则

(1+xn1) (1+xn2)…(1+xnk)=∑ ai xi

1表示(1+xnj)中提供1，砝码nj没有用上。

ai为所求。

注：多项式展开后，还可以看出能称出哪些重量

经验：始终记得，一个括号内一次仅有一个项被取，用于提供给展开式的某一项

例2：（重复取物）有n种不同的物品，每种物品分别能最多取b1，b2… bn件。从中可重复的取r件物品有多少种不同的取法？

解：设有ar种不同的取法。则

(1+x+x2+…+xb1) (1+x+x2+…+xb2)… (1+x+x2+…+xbn)=a0+a1x+ a2x2+…+ arxr+…

展开式中xr的来源xm1xm2…xmn=xr

于是成了重组合问题，答案为C(n+r-1, r)

例3：整数拆分：整数r拆分成k1，k2… km的和，ki允许最多重复ni次。求拆分方案数。

解：这是求k1b1+ k2b2+…+ kmbm=r的不定方程的非负整数解的个数，0<= bi<= ni 。

考虑(1+xk1+xk1*2+xk1*3+…+xk1*n1)( 1+xk2+xk2*2+xk2*3+…+xk2*n2)…( 1+xkn+xkn*2+xkn*3+…++xkm*nm)

则答案是xr的系数

c.       指数母函数

N个元素中，ai重复了ni次，求从中取r个元素的排列数为br。

设取mi个ai，∑mi=r。则相互不同的排列数为r! / ∏mi!

则对于所有的mi的拆分方法，br=∑( r! / ∏mi! )

例4：若有8个元素，其中a1重复了3次，a2重复了2次，a3重复了3次。求从中取出4个元素的排列数。

解：先构造普通母函数
G(x)=(1+x+ x2+x3) (1+x+ x2) (1+x+ x2+x3)

X4的系数为10，说明取4个元素的组合数为10。这相当于上面所说的对于mi的拆分方法。
4 = 1+0+3 = 0+1+3 = 2+0+2 = 1+1+2 = 0+2+2 =  3+0+1 = 2+1+1 = 1+2+1 = 3+1+0 = 2+2+0

代入br=∑( r! / ∏mi! )，得到70种
 

为了便于计算br，引入函数

g(x)= (1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn1/n1!) (1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn2/n2!)… (1+x+x2/2!+x3/3!+…+xnk/nk!)=∑ (br*xr/r!)

g(x)称为{br}的指数母函数。br=∑( r! / ∏mi! )