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source  :  BaiDu
中文:卡特兰数
  原理:
  令h(1)=1,catalan数满足递归式:
  h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
  该递推关系的解为:
  h(n)=c(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
  我并不关心其解是怎么求出来的,我只想知道怎么用catalan数分析问题。
  我总结了一下,最典型的四类应用:(实质上却都一样,无非是递归等式的应用,就看你能不能分解问题写出递归式了)
  1.括号化问题。
  矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种)
  2.出栈次序问题。
  一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
  类似:有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
  3.将多边行划分为三角形问题。
  将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
  类似:一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她
  从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?
  类似:在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数? 
  4.给顶节点组成二叉树的问题。
  给定N个节点,能构成多少种不同的二叉树?
  (能构成h(N)个)

posted on 2008-10-27 20:34 memorygarden 阅读(174) 评论(0)  编辑 收藏 引用

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