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2-SAT:

1 2 - SAT就是2判定性问题,是一种特殊的逻辑判定问题。
2 2 - SAT问题有何特殊性?该如何求解?
3 我们从一道例题来认识2 - SAT问题,并提出对一类2 - SAT问题通用的解法。
4
Poi  0106  Peaceful Commission [和平委员会]:

某国有n个党派,每个党派在议会中恰有2个代表。
现在要成立和平委员会 ,该会满足:
每个党派在和平委员会中有且只有一个代表 
如果某两个代表不和,则他们不能都属于委员会 
代表的编号从1到2n,编号为2a
- 1 、2a的代表属于第a个党派
输入n(党派数),m(不友好对数)及m对两两不和的代表编号 
其中1≤n≤
8000 0 ≤m ≤ 20000  

求和平委员会是否能创立。若能,求一种构成方式。 
输入:     输出:
3   2         1         
1   3         4           
2   4         5                   

原题可描述为:

有n个组,第i个组里有两个节点Ai, Ai
'  。需要从每个组中选出一个。而某些点不可以同时选出(称之为不相容)。任务是保证选出的n个点都能两两相容。

(在这里把Ai, Ai
'  的定义稍稍放宽一些,它们同时表示属于同一个组的两个节点。也就是说,如果我们描述Ai,那么描述这个组的另一个节点就可以用Ai '
初步构图
如果Ai与Aj不相容,那么如果选择了Ai,必须选择Aj‘ ;同样,如果选择了Aj,就必须选择Ai’ 。
   Ai             Aj
'
   Aj             Ai‘                        
这样的两条边对称

我们从一个例子来看:
假设4个组,不和的代表为:1和4,2和3,7和3,那么构图:
假设:首先选1 3必须选,2不可选 8必须选,
4 、7不可选  5 、6可以任选一个

 
矛盾的情况为:
存在Ai,使得Ai既必须被选又不可选。
 
得到算法1:
枚举每一对尚未确定的Ai, Ai‘ ,任选1个,推导出相关的组,若不矛盾,则可选择;否则选另1个,同样推导。若矛盾,问题必定无解。
此算法正确性简要说明:
由于Ai,Ai
'  都是尚未确定的,它们不与之前的组相关联,前面的选择不会影响Ai, Ai '  。

算法的时间复杂度在最坏的情况下为O(nm)。
在这个算法中,并没有很好的利用图中边的对称性
更一般的说:
在每个一个环里,任意一个点的选择代表将要选择此环里的每一个点。不妨把环收缩成一个子节点(规定这样的环是极大强连通子图)。新节点的选择表示选择这个节点所对应的环中的每一个节点.
对于原图中的每条边Ai
-> Aj(设Ai属于环Si,Aj属于环Sj)如果Si≠Sj,则在新图中连边:Si -> Sj

这样构造出一个新的有向无环图。
此图与原图等价。
通过求强连通分量,可以把图转换成新的有向无环图,在这个基础上,介绍一个新的算法。

新算法中,如果存在一对Ai, Ai
' 属于同一个环,则判无解,否则将采用拓扑排序,以自底向上的顺序进行推导,一定能找到可行解。

至于这个算法的得来及正确性,将在下一段文字中进行详细分析。

回忆构图的过程:
对于两个不相容的点 Ai, Aj,构图方式为:Ai
-> Aj ' ,Aj->Ai ' ,前面提到过,这样的两条边对称,也就是说:
如果存在Ai
-> Aj,必定存在Aj ' ->Ai '

等价于:Ai
-> Ak,Ak ' ->Ai '  方便起见,之后“ -> ”代表这样一种传递关系.


猜测1:图中的环分别对称
如果存在Ai,Aj,Ai,Aj属于同一个环(记作Si),那么Ai
' , Aj ' 也必定属于一个环(记作Si ' ).
再根据前面的引理,不难推断出每个环分别对称。 

证明方式与引理相类似
一个稍稍复杂点的结构,其中红、蓝色部分分别为两组对称的链结构
推广2:对于任意一对Si, Si
'  ,Si的后代节点与Si '  的前代节点相互对称。 
继而提出:
猜测2:若问题无解,则必然存在Ai, Ai
'  ,使得Ai,Ai ' 属于同一个环。也就是,如果每一对Ai,Ai '  都不属于同一个环,问题必定有解。下面给出简略证明:
先提出一个跟算法1相似的步骤: 
如果选择Si,那么对于所有Si
-> Sj,Sj都必须被选择。 
而Si
'  必定不可选,这样Si’的所有前代节点也必定不可选(将这一过程称之为删除)。
由推广2可以得到,这样的删除不会导致矛盾。

假设选择S3
'  
选择S3 ' 的后代节点, S1 '
删除S3
删除S3的前代节点S1
S1与S1
' 是对称的

每次找到一个未被确定的Si,使得不存在Si
-> Si '  选择Si及其后代节点而删除Si’及Si‘的前代节点。一定可以构造出一组可行解。
因此猜测2成立。

另外,若每次盲目的去找一个未被确定的Si,时间复杂度相当高。
以自底向上的顺序进行选择、删除,这样还可以免去“选择Si的后代节点”这一步。
用拓扑排序实现自底向上的顺序。

一组可能的拓扑序列(自底向上):S1
' ,S2,S2 ' ,S3 ' ,S3,S1

算法2的流程: 

1 .构图
2 .求图的极大强连通子图
3 .把每个子图收缩成单个节点,根据原图关系构造一个有向无环图
4 .判断是否有解,无解则输出(退出)
5 .对新图进行拓扑排序
6 .自底向上进行选择、删除
7 .输出

小结:
整个算法的时间复杂度大概是O(m),解决此问题可以说是相当有效了。
在整个算法的构造、证明中反复提到了一个词:对称。发现、利用了这个图的特殊性质,我们才能够很好的解决问题。
并且,由2
- SAT问题模型变换出的类似的题目都可以用上述方法解决。 

全文总结:
充分挖掘图的性质,能够更好的解决问题。
不仅仅是对于图论,这种思想可以在很多问题中得到很好的应用。
希望我们能掌握此种解题的思想,在熟练基础算法的同时深入分析、灵活运用、大胆创新,从而解决更多更新的难题。
posted on 2009-06-06 15:00 KNIGHT 阅读(6117) 评论(0)  编辑 收藏 引用

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