[3D基础]理解计算机3D图形学中的坐标系变换

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[3D基础]理解计算机3D图形学中的坐标系变换

     要谈坐标系变换,那么坐标系有哪些呢?依次有:物体坐标系,世界坐标系,相机坐标系,投影坐标系以及屏幕坐标系.我要讨论的就是这些坐标系间的转换。
     这些坐标系不是凭空而来,他们都是为了完成计算机3D图形学最最最基本的目标而出现.
      计算机3D图形学最最最基本的目标就是:将构建好的3D物体显示在2D屏幕坐标上.
      初看好像就是将最初的物体坐标系转换到屏幕坐标系就可以了呀,为什么多出了世界坐标系,相机坐标系,投影坐标 系。这是因为:在一个大世界里有多个物体,而每个物体都有自己的坐标系,如何表述这些物体间相对的关系,这个多出了世界坐标系;如果只需要看到这个世界其 中一部分,这里就多出了相机坐标系;至于投影坐标系那是因为直接将3D坐标转换为屏幕坐标是非常复杂的(因为它们不仅维度不同,度量不同(屏幕坐标一般都 是像素为单位,3D空间中我们可以现实世界的米,厘米为单位),XY的方向也不同,在2D空间时还要进行坐标系变换),所以先将3D坐标降维到2D坐标, 然后2D坐标转换到屏幕坐标。
理解3D图形学的第一步:理解左手坐标系与右手坐标系
      为什么会有左手坐标系与右手坐标系之分?
      在3D空间(没错!就是3D)中,所有2D坐标系是等价的(就是通过一系列的仿射变换,可以互相转换)
      而3D坐标系不是等价的,通过仿射变换,是无法将左手坐标系转换到右手坐标系;也就是说,物体坐标系用的就是左手坐标系,世界坐标系用的是右手 坐标系,那么物体可能就是不会是我们所希望的样子了,可能是倒立的,也可能是背对着我们的,所以我们要区分左手坐标系与右手坐标系。也许在4D空间,左右 手坐标系就可以互相变换了吧。
      进入正题吧:
     首先讨论的是物体坐标系->世界坐标系
      前面说了为了描述多个物体间相对的关系,这里引进了世界坐标系,所以世界坐标系是个参考坐标系。
      这一步的目的将所有的物体的点都转移到世界坐标系,这里主要涉及的是旋转,缩放,平移等。
      不过我将详细说明为何及如何用矩阵来描述这些变换。
      例:如果有两个坐标系C与C`, C`是C绕Z轴旋转θ得到的。下面是各坐标轴的变换:
             
     如果是C坐标系的点P(x, y, z),而在C`的表示就是
   
     这时该如何建立矩阵呢? 答案就是区分你用的是行向量还是列向量.也许有人会问为什么不区分是左手坐标系还是右手坐标系呢?因为C可以变换到C`,那么他们一定是同在左手坐标系或右手坐标系,变换只能在可以互相转换的坐标系之间进行。
      如果你用的是行向量:由于行向量只能左乘矩阵(注意乘与乘以的区别)
      所以矩阵形式应该是这样
    
     只有这样,在左乘矩阵时才能得到上面P`的形式。
    
     如果你用的是列向量: 由于列向量只能右乘矩阵(注意乘与乘以的区别)
     所以矩阵形式应该是这样
    
     只有这样,在右乘矩阵时才能得到上面P`的形式。
  
     至于如何旋转,缩放,平移我不在多说。
     …………………………………觉得自己好像跑题了.还好这两个坐标系变换很简单。
     我们再讨论世界坐标系->相机坐标系
     引进相机的目的就是只需看到世界的一部分,而哪些是可以在相机里看到的,就需要进行筛选。将物体转换到相机坐标系,这样相机坐标系进行筛选时就会简单很多。这里的重点是构建相机坐标系。
     物体坐标系,世界坐标系是美工在绘制时就定义好了的。而相机坐标系是需要程序实时构建的。(当然这是通常情况下,如果你要建立一个世界,这个世界都是围绕 你转,要实时改变所有物体坐标系,固定相机坐标系(其实这时候相机坐标系就是世界坐标系),建立一个地心说的世界,我也没办法,你的思维也太不一样了。)
     如何构建相机坐标系呢?首先我们要明确目标:我们是要构建3D坐标系(好像是废话),三个坐标轴要互相垂直(也好像是废话).
      我们一般用UVN相机。例如:D3D的D3DXMatrixLookAtLH,D3DXMatrixLookAtRH,OGL的gluLookAt(右手坐标系).
      如何建立呢UVN相机呢? 我们就要利用叉积这个工具了:两个不平行,不重叠的向量的叉积可以得到与这两个向量互相垂直的向量。
      如果有了相机的位置与目标的位置那么我们可以确定一个Z轴(有人问为什么是Z轴,因为物体的远与近我们就习惯用Z值来表示的)。求Z轴时要注意 是左手坐标系还是右手坐标系,左右手坐标系XY轴方向相同时,Z轴的方向相反。所以左手坐标系是目标位置减去相机位置,而右手坐标系则是相机位置减去目标 位置。记得normalize
     这是我们要得到X与Y轴了。如何求X,Y轴呢?
     一般方法是:
     1、选择一个临时Y轴,
     2、对临时Y 与Z 轴进行叉积求得一个X轴
     3、X轴再与Z轴进行叉积,得到一个Y轴。
     有了XYZ就可以求出旋转的相机矩阵了。
     如何选择一个Y轴呢?大多数情况下是(0,1,0),但是如果是相机位置E与目标位置T垂直,即(E-T=(0,+/-1,0)时),这时就不能用(0,1,0)了, 因为两个平行向量的叉积是零向量,所以我们就要另选一个Y轴。
     但是我觉得我们可以改变方法。
      如果不能选Y轴,我们就选择一个临时X轴,这个临时X轴就是(1,0,0)。
     然后再对临时X轴与Z轴进行叉积求得一个Y轴。
     最后Y轴再与Z轴进行叉积,得到X轴。
      这样可以得到XYZ轴。
      最后再根据行向量与列向量建立相机矩阵,再进行平移。

     相机坐标系->投影坐标系.
     投影的目的就是:降维.
      两种投影方式:正交投影与透视投影.
      在我们TEAM中易颖已经写了,我就不多说了,大家去看他的文章。

     投影坐标系->屏幕坐标系
      这是最简单的。2D坐标变换。也不多说。

转载文章2:http://www.xingousi.com/computer/computergraphics.htm

计算机图形学笔记(Part 1 ):计算机图形学透视投影变换原理及一点和两点透视

 

一、平行互分法

吴英凡所写的《透视作图的新方法——交点法体系》,其中谈到的平行互分法,还是有道理的。

其实简单点说,就是透视图上的两条“原来空间中的平行线”(在画面上透视投影为相交于灭点),通过其中一条透视投影直线的端点画另一条透视投影直线的平行线,必平行于画面;这第三条线在画面的透视投影的灭点必然在另一条透视投影线上。

 

 

 

二、透视投影变换学习总结

1、用多维数列表示低维空间坐标,加深理解齐次坐标表示法。

    齐次坐标表示法可以方便地运算,同时形状不变。[x,y,z,0]表示一个无穷的点。

   

2、透视投影变换公式可以看成两个矩阵的乘积,其中一个做透视变换,另外一个作正投影

   保留的z'值的确切含义:指的是在完全作完透视投影变换之前,仅作透视投影之后的一条线.

   它的几何意义见李建平《计算机图形学原理教程》第44页。

3、左手和右手坐标系的坐标转换

   “视点坐标系与一般的物体所在的世界坐标系不同,它遵循左手法则,即左手大拇指指向Z正轴,与之垂直的四个手指指向X正轴,四指弯曲90度的方向是Y正轴。而世界坐标系遵循右手法则的。”

4、视点坐标系的透视变换公式很重要!!王飞著计算机图形学书65

5z'值的确切含义:指的是在完全作完透视投影变换之前,仅作透视投影之后的一条线

 

 

 

三、两点透视的变换矩阵:

王飞编著《计算机图形学基础》的道理是:

从平面图形的平移、旋转、错切开始推导,两点透视的变换矩阵可以看成是:

物体本身有一个物体坐标系——xw,yw,zw,视点作为原点又构成一个视点坐标系——xeyeze,物体坐标系z轴朝上,y轴朝向远处;而视点坐标系y轴朝上,z轴朝向远处。

这样,最终的二点透视状态可以这样取得,首先把物体的位置的物体坐标系表示法转化为视点坐标系的表示法(第一个矩阵),然后围绕视点坐标系的y轴旋转(第二个矩阵),然后在xyz方向上平移(第三个矩阵),最后做透视变换(第四个矩阵),它的原文是把平移放在第二步,我在平移之前转动,目的是保证了物体旋转的轴在离它不远的地方:

我使用的矩阵变换如下,原文是是把平移放在第二步:

[xw,yw,zw,1]* ***

 

最后所得结果是一个新的矩阵,

[xe ye ze 1]=[cos*xw-sin*yw+l   zw+m   2sin*xw+2cos*yw+2n-d   (sin*xw+cos*yw+n/d]

把最后一项变成1,可得

=[(cos*xw-sin*yw+l)*d/(sin*xw+cos*yw+n   (zw+m)*d/(sin*xw+cos*yw+n)   2sin*xw+2cos*yw+2n-d*d/(sin*xw+cos*yw+n)    1 ]


即:

Xe= (cos*xw-sin*yw+l)*d/(sin*xw+cos*yw+n)

Ye=(zw+m)*d/(sin*xw+cos*yw+n)

Ze=(2sin*xw+2cos*yw+2*n-d)*d/(sin*xw+cos*yw+n)

 

实际上我的delphi程序里面是这样的:

xe:=trunc((cos(angle)*eee[ii][k].X-sin(angle)*eee[ii][k].Y+l)*d/(sin(angle)*eee[ii][k].X+cos(angle)*eee[ii][k].Y+n));

        ye:=trunc((hhh[ii][k]+m)*d/(sin(angle)*eee[ii][k].X+cos(angle)*eee[ii][k].Y+n)); //透视变换

        //ze可以考虑使用作为消隐

Ze:=trunc((2*sin(angle)*xw+2*cos(angle)*yw+2*n-d)*d/(sin(angle)*xw+cos(angle)*yw+n));

 

 

四、通过变换过的两点透视的结果xe,yezw*,反求原来的物体坐标xw,yw

即:xe,yezw已知,求出xw,yw

根据:

Xe= (cos*xw-sin*yw+l)*d/(sin*xw+cos*yw+n)          1

Ye=(zw+m)*d/(sin*xw+cos*yw+n)                         2

Ze=2sin*xw+2cos*yw+2n-d*d/(sin*xw+cos*yw+n) 3

1)除以(2)得

Xe/Ye= (cos*xw-sin*yw+l)/ (zw+m)

(Xe*(zw+m))/Ye=cos*xw-sin*yw+l

(Xe*(zw+m))/(Ye* cos)=xw-tan*yw+l/cos

Xw=(Xe*(zw+m))/ (Ye* cos) - (ye*l)/(Ye* cos)+( sin*yw*ye)/ (Ye* cos)

 

Xw=(Xe*(zw+m)+ sin*yw*ye- ye*l)/ (Ye* cos)            (4)

 

由(2)得

Ye*(sin*xw+cos*yw+n)= (zw+m)*d

Ye*(sin*xw)+ye* cos*yw+n*ye=(zw+m)*d

把(4)代入上式得

Ye* sin*(Xe*(zw+m)+ sin*yw*ye- ye*l)/ (Ye* cos)+ye* cos*yw+n*ye=(zw+m)*d

约去ye,得

sin*(Xe*(zw+m)+ sin*yw*ye- ye*l)/ cos+ye* cos*yw+n*ye=(zw+m)*d

tan*(Xe*zw+xe*m+ sin*yw*ye- ye*l) +ye* cos*yw+n*ye=(zw+m)*d

tan*Xe*zw+xe*m *tan- ye*l*tan+ sin*tan*yw*ye+ye* cos*yw+n*ye=(zw+m)*d

(sin*tan*ye+ye* cos)*yw+ tan*Xe*zw+xe*m *tan- ye*l*tan+n*ye=(zw+m)*d

 

最后得

Yw=[(zw+m)*d- tan*Xe*zw- xe*m *tan+ ye*l*tan- n*ye]/ (sin*tan*ye+ye* cos) 5

而前面已经得到

Xw=(Xe*(zw+m)+ sin*yw*ye- ye*l)/ (Ye* cos)            (4)

 

实际上相当于opengl里面的逆变换,从鼠标选中的屏幕位置来确定对应的三维空间中位置,opengl使用gluUnProjectgluUnProject4来计算。

posted on 2010-12-06 14:19 wrh 阅读(867) 评论(0)  编辑 收藏 引用


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