Posted on 2011-01-18 13:43
Tommy Liang 阅读(1773)
评论(0) 编辑 收藏 引用 所属分类:
数学
1.矩阵乘以向量即为使用向量的分量对矩阵的列进行线性组合；
2.每个消元步骤都可以用矩阵乘法表达；由此导出求逆的办法：
E[A I]表明对 [A I]分块矩阵进行消元，消元的步骤归结为 E,则得到 [EA E]，EA最终变成I，那么E就是A-,其值由[EA E](即[I E])的右边分块给出。
3.矩阵乘法可以改变组合顺序（重新组合括号），但不可交换；
4.矩阵在左边的时候，用行变换，在右边的时候，用列变换；
5.行操作的步骤：选择左边矩阵每行的分量作为组合因子，对右边矩阵的各行进行线性组合，产生对应的各行；
6.列操作的步骤：选择右边矩阵每列（向量）的分量作为组合因子，对左边矩阵的各列进行线性组合，产生对应的各列；
7.置换矩阵：行交换后的单位矩阵；
8.置换矩阵的特点：总是可逆的，并且其转置恰好等于其逆；
9.PA=LU， 矩阵总可做LU分解，P是置换矩阵(Permutation)；
10.对称矩阵：转置后等于自身的矩阵；
11.矩阵乘上其转置可以产生一个对称矩阵；
12.向量空间：即若干向量的线性组合；
线性无关：如果向量无论如何组合（除了零组合）都得不到零向量，那么这些向量就是线性无关的，反之就是线性相关的，简言之，如果 Ax = 0 无解（零解除外），则A的列向量线性无关。
（矩阵的）零空间（NA)：使得Ax=0的所有x，总是包括零向量,零空间告诉我们矩阵的列向量是如何组合使得他们线性相关的；
13.Ax=b的可解性分析：首先b必须在C(A)（A的列空间）中，第二是如果A的行的某个线性组合产生了零行，那么b的同样的线性组合必须也给出零；
14.如何找到Ax=b的全解集：
（1）找到一个特解：首先将所有的自由变量设置为零，然后为解Ax=0得到主元，比如R4中，x1,x3是主元，解出特解为 [x1,0,x3,0]T；
（2）解x的零空间(null space)；
现在，全解的表达式就是 特解 + 零空间中x的任意线性组合；
15.矩阵的秩(Rank)：消元后有主元的列数；
16.m x n 矩阵的秩r与Ax=b的解集的关系：
（1）r = m = n
其 rref (reduced row echelon form:矩阵的化简行阶梯形式) 是单位矩阵I，Ax=b有唯一解；
（2）r = n < m
其 rref 形如 [I 0]T 零解或一个解,当b的下面的对应rref的零块的分量不是0的话，就是零解；
（3）r = m < n
其 rref 形如 [IF],F是自由变量，有无穷多个解；
（4）r < m，r < n
其 rref 形如 [IF 00]T ，有零或无穷解；
17.如果矩阵的零空间只有零向量，那么矩阵的向量线性无关 (independent)，可以理解为：除了零，没有其他线性组合使得矩阵的向量回到原点，则向量线性无关；
18.张成(Span)：矩阵列向量的所有线性组合；
19.空间的基(Basis):{ 空间中的向量集 | 线性无关且可张成空间本身 },某个空间的所有基都有相同个数的向量数，这个数称为空间的维(Dimension),
其中，DimC(A)=r， DimN(A) = n - r
20.矩阵的四个子空间：
（1）C(A) 列空间，在 Rm，向量有m个分量,Dim(C(A)) = r;
（2）N(A) 零空间，在 Rn,Dim(N(A)) = n-r
（3）C(AT) 行空间，在 Rn,Dim(C(AT)) = r，即矩阵转置后，列空间的维度不变;这是一个很重要的结论。
（4）N(AT) 转置的零空间，在 Rm,Dim(N(AT)) = m-r
今天到西丽考第一科目，100分过关！特此庆祝！