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知行合一,自强不息

 

GCD,快速GCD,扩展GCD

/*==================================================*\ 
| GCD 最大公约数 
\*==================================================
*/
 
int gcd(int x, int y)

    
if (!|| !y) return x > y ? x : y; 
    
for (int t; t = x % y; x = y, y = t); 
    
return y; 
}
 
/*==================================================*\ 
| 快速 GCD 
\*==================================================
*/
 
int kgcd(int a, int b)

    
if (a == 0return b; 
    
if (b == 0return a; 
    
if (!(a & 1&& !(b & 1)) 
        
return kgcd(a>>1, b>>1)<<1;
    
else if (!(b & 1))
    
return kgcd(a, b>>1); 
    
else if (!(a & 1)) return kgcd(a>>1, b); 
    
else return kgcd(abs(a - b), min(a, b)); 
}
 
/*==================================================*\ 
| 扩展 GCD  
| 求x, y使得gcd(a, b) = a * x + b * y;  
\*==================================================
*/
 
int extgcd(int a, int b, int & x, int & y)

    
if (b == 0{ x=1; y=0return a; } 
    
int d = extgcd(b, a % b, x, y); 
    
int t = x; x = y; y = t - a / b * y; 
    
return d; 
}
 

欧几里得算法

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:

定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数,则有

d|a, d|b,而r = a – kb,因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数,则

d | b , d |r ,但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证.

扩展欧几里德算法

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p,q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) (解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。下面是一个使用C++的实现:

 

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    
if(b == 0)
    
{
        x 
= 1;
        y 
= 0;
        
return a;
    }

    
int r = exGcd(b, a % b, x, y);
    
int t = x;
    x 
= y;
    y 
= t – a / b * y;
    
return r;
}

 

把这个实现和Gcd的递归实现相比,发现多了下面的x,y赋值过程,这就是扩展欧几里德算法的精髓。

可以这样思考:

对于a’ = b, b’ = a % b 而言,我们求得 x, y使得 a’x + b’y = Gcd(a’, b’)

由于b’ = a % b = a – a / b * b (注:这里的/是程序设计语言中的除法)

那么可以得到:

a’x + b’y = Gcd(a’, b’) ===>

bx + (a – a / b * b)y = Gcd(a’, b’) = Gcd(a, b) ===>

ay +b(x – a / b*y) = Gcd(a, b)

因此对于a和b而言,他们的相对应的p,q分别是 y和(x-a/b*y)

补充:关于使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法

对于不定整数方程pa+qb=c,若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解,否则不存在整数解。

上面已经列出找一个整数解的方法,在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后,p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足:

p = p0 + b/Gcd(p, q) * t

q = q0 – a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)

至于pa+qb=c的整数解,只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可


#include <iostream>   
using namespace std;
//int gcd(int a, int b); //两个数的最大公约数    
//int ngcd(int *pa, int n) //N个数的最大公约数    
//int lcm(int a, int b) //两个数的最小公倍数    
//int nlcm(int *pa, int n) //N个数的最小公倍数   
  
int gcd (int a,int b)   
{   
    
if (b==0)   
        
return a;   
    
return gcd(b,a%b);   
}   
  
int ngcd(int *pa, int n)    
{   
    
if(n == 1)   
        
return *pa;   
    
return (gcd(pa[n-1], ngcd(pa, n-1)));   
}   
  
int lcm(int a, int b) //最小公倍数 = 两数乘积 / 最大公约数    
{   
    
return a*b/gcd(a, b);    
}   
  
int nlcm(int *pa, int n)    
{   
    
if(n == 1)   
        
return *pa;   
    
return lcm(pa[n-1], nlcm(pa, n-1));    
}   
  
  
int main()   
{   
    
int a,b,n,rgcd,rlcm,rngcd,rnlcm;   
    
int pa[10];   
    printf(
"please input tow number:");   
    scanf(
"%d %d",&a,&b);   
    rgcd
=gcd(a,b);   
    rlcm
=lcm(a,b);   
    printf(
"最大公约数是:%d\n",rgcd);   
    printf(
"最小公倍数是:%d\n",rlcm);   
    printf(
"please input the n:");   
    scanf(
"%d",&n);   
    
for (int i=0;i<n;i++)   
        scanf(
"%d",&pa[i]);   
    rngcd
=ngcd(pa,n);   
    rnlcm
=nlcm(pa,n);   
    printf(
"最大公约数是:%d\n",rngcd);   
    printf(
"最小公倍数是:%d\n",rnlcm);   
    
return 0;   
}

posted on 2010-05-31 11:03 superKiki 阅读(3753) 评论(5)  编辑 收藏 引用

评论

# re: GCD,快速GCD,扩展GCD 2011-03-20 08:25 kfrog

那个所谓的快速GCD应该不会比一般的GCD快吧?在求2个大整数的最大公约数时,用辗转相除显然比你用固定 除2收敛得快  回复  更多评论   

# re: GCD,快速GCD,扩展GCD 2013-11-06 08:22 请输入验证码

在计算机编程中,模运算往往很慢。。。@kfrog
  回复  更多评论   

# re: GCD,快速GCD,扩展GCD 2015-08-29 10:37 霍夏玉

实测快速gcd比普通gcd要慢  回复  更多评论   

# re: GCD,快速GCD,扩展GCD 2016-03-27 17:58 Mr.Y

@kfrog
取模在CPU中是20个时钟周期,位运算在CPU中是1个时钟周期,你说呢
  回复  更多评论   

# re: GCD,快速GCD,扩展GCD 2016-08-11 09:48 QAQ

@kfrog
快速gcd在高精度运算时比辗转相除快得多,高精度取模速度非常慢  回复  更多评论   


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