1. 取 Z_v 轴向为观察平面的法向 VPN，其单位矢量n=VPN/|VPN|=(n_x,n_y,n_z)

2. 取 X_v 轴向为观察方向PREF，其单位矢量u=PREF/|PREF|=(u_x,u_y,u_z)

3. 取Y_v轴向的单位矢量v=u×n=（v_x，v_y，v_z）

因此世界坐标到观察坐标到变换矩阵为：

 正平行投影（三视图）

    投影方向垂直于投影平面的投影称为正平行投影，我们通常所说的三视图均属于正平行投影。三视图的生成就是把 x 、 y 、 z 坐标系的形体投影到 z =0的平面，变换到 u 、 v 、 w 坐标系。一般还需将三个视图在一个平面上画出，这时就得到下面的变换公式，其中( a ， b )为 u 、 v 坐标系下的值， t_x 、 t_y 、 t_z 均如图中所示。
   1）主视图

   2）俯视图

   3）侧视图

三视图

斜平行投影

    投影方向不垂直于投影平面的平行投影被称为斜平行投影，现在让我们来推导斜平行投影的变换矩阵。下图中的Z=0的坐标平面为观察平面，点（ x ， y ）为点（ x ， y ， z ）在观察平面上的正平行投影坐标，点（ x^´ ， y ´ ）为斜投影坐标。（ x ， y ）与（ x^´ ， y ´ ）的距离为 L 。

1. 由于用齐次坐标表示，三维几何变换的矩阵是一个4阶方阵，其形式如下：
   
   
   

移回原来位置
       则变换矩阵为：
     
    3）绕坐标轴的旋转变换
    三维空间的旋转相对要复杂些，考虑右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋转

     A.绕 x 轴旋转

   

     B.绕 y 轴旋转

   

     C.绕 z 轴旋转

   

    
    

三维空间的平移、旋转及缩放示意图

   4）绕任意轴的旋转变换
   设旋转轴 AB 由任意一点 A （ x_a ， y_a ， z_a ）及其方向数( a ， b ， c )定义，

     

   可以通过下列步骤来实现 P 点的旋转：

     A. 将 A 点移到坐标原点。

     D.作上述变换的逆操作，使 AB 回到原来位置。

是 AB 在 YOZ 平面与 XOZ 平面的投影与 Z 轴的夹角。


http://necweb.neu.edu.cn/ncourse//tuxingxue/Chapter6/CG_Txt_6_012.htm

    正如我们在附录中提到的那样，用齐次坐标表示点的变换将非常方便，因此在本节中所有的几何变换都将采用齐次坐标进行运算。二维齐次坐标变换的矩阵的形式是：
                
这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。
形进行平移变换；[ g h ]是对图形作投影变换；[ i ]则是对图形整体进行缩放变换。
1）平移变换


2）缩放变换


3）旋转变换



4）对称变换

对称变换其实只是 a 、 b 、 d 、 e 取0、1等特殊值产生的一些特殊效果。例如：

1. 当 b = d =0， a =-1， e =1时有 x ^´=-x，y^´=y，产生与y轴对称的图形。

2. 当 b = d =0， a =-1， e =-1时有 x ^´=x，y^´=-y，产生与x轴对称的图形。

3. 当 b = d =0， a = e =-1时有 x ^´=-x，y^´=-y，产生与原点对称的图形。

4. 当 b = d =1， a = e =0时有 x ^´=y，y^´=x，产生与直线y=x对称的图形。

5. 当 b = d =-1， a = e =0时有 x ^´=-y，y^´=-x，产生与直线y=-x对称的图形。

5）错切变换

1. 当 d =0时，x^´=x+by，y^´=y，此时，图形的y坐标不变，x坐标随初值  （x，y）及变换系数b作线性变化。

2. 当 b =0时，x^´=x，y^´=dx+y，此时，图形的x坐标不变，y坐标随初值  （x，y）及变换系数d作线性变化。

如果图形要做一次以上的几何变换，那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到位的变换。复合变换有如下的性质：

1. 复合平移

   对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来：
   

2. 复合缩放

   两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘：

   

3. 复合旋转

   两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加：

缩放、旋转变换都与参考点有关，上面进行的各种变换都是以原点为参考点的。如果相对某个一般的参考点（ x_f ， y_f ）作缩放、旋转变换，相当于将该点移到坐标原点处，然后进行缩放、旋转变换，最后将（ x_f ， y_f ）点移回原来的位置。切记复合变换时，先作用的变换矩阵在右端，后作用的变换矩阵在左端。
4. 关于（ x_f ， y_f ）点的缩放变换

   

   

5. 绕（ x_f ， y_f ）点的旋转变换

   

   http://necweb.neu.edu.cn/ncourse//tuxingxue/Chapter6/CG_Txt_6_011.htm　

    实际的窗口区与视图区往往不一样大小，要在视图区正确地显示形体的，必须将其从窗口区变换到视图区。

比例关系，两者的变换公式为：

可以简单地将两者的关系表示为：

 

http://necweb.neu.edu.cn/ncourse//tuxingxue/Chapter6/CG_Txt_6_010.htm

using  System;
using  Microsoft.DirectX;
using  Microsoft.DirectX.Direct3D;

public   struct  PositionNormalTexVertex
{
     public  Vector3 Position;
     public  Vector3 Normal;
     public    float  Tu0, Tv0;
     public   static   readonly  VertexFormats FVF  =  VertexFormats.Position  |  VertexFormats.Texture1;
}
public   class  Example
{
     public   unsafe   void   GraphicsStreamReadWrite()
     {
         // Create a vertex buffer in the managed pool
        VertexBuffer vb  =   new  VertexBuffer( typeof (PositionNormalTexVertex),  100 , device, Usage.None, PositionNormalTexVertex.FVF, Pool.Managed);

         // First, fill an array of PositionNormalTexVertex elements with data.
        PositionNormalTexVertex[] vertices  =   new  PositionNormalTexVertex[ 50 ];
         for ( int  i = 0 ; i < 50 ; i ++ )
         {
             // fill the vertices with some data
            vertices[i].Position  =   new  Vector3(3f,4f,5f);
        }

         // The size of the verticies are 32-bytes each (float3 (12) + float3 (12) + float(4) + float(4))
         // To lock 50 verticies, the size of the lock would be 1600 (32 * 50)
        GraphicsStream vbData  =   vb.Lock( 0 , 1600 , LockFlags.None);

         // copy the vertex data into the vertex buffer
        vbData.Write(vertices);

         // Unlock the VB
        vb.Unlock();


         // This time, lock the entire VertexBuffer
        vbData  =   vb.Lock( 0 ,  3200 , LockFlags.None);

         // Cast the InternalDataPointer (a void pointer) to an array of verticies
        PositionNormalTexVertex *  vbArray  =  (PositionNormalTexVertex * ) vbData.InternalDataPointer;

         for ( int  i = 0 ; i < 100 ; i ++ )
         {
             // perform some operations on the data
            vbArray[i].Tu0  =  i;
            vbArray[i].Tv0  =  vbArray[i].Tu0  *   2 ;

            Console.WriteLine(vbArray[i].Tv0.ToString());
        }

         // Unlock the buffer
        vb.Unlock();
        vb.Dispose();
    }
}

Read and Write VertexBuffer Data With Arrays

using System;
using Microsoft.DirectX;
using Microsoft.DirectX.Direct3D;

public struct PositionNormalTexVertex
{
    public Vector3 Position;
    public Vector3 Normal;
    public float Tu0, Tv0;
    public static readonly VertexFormats FVF = VertexFormats.Position | VertexFormats.Texture1;
}

public class Example
{
    public void ArrayBasedReadWrite()
    {
        //Create a vertex buffer in the managed pool
        VertexBuffer vb = new VertexBuffer(typeof(PositionNormalTexVertex), 100, device,                 Usage.None, PositionNormalTex1Vertex.FVF, Pool.Managed);

        //Fill an array of the appropriate type with the VB data using Lock()
        PositionNormalTexVertex[] vbData = (PositionNormalTexVertex[]) vb.Lock(0,                    typeof(PositionNormalTexVertex), LockFlags.None, 50);
        for(int i=0; i<50; i++)
        {
            //set your vertices to something
            vbData[i].Position = new Vector3(2f,2f,2f);  
            vbData[i].Normal = new Vector3(1f,0f,0f);
            vbData[i].Tu0 = i;
            vbData[i].Tv0 = i;
        }
        //Unlock the vb before you can use it elsewhere
        vb.Unlock();

        //This lock overload simply locks the entire VB -- setting ReadOnly                     //can improve perf when reading a vertexbuffer
        vbData = (PositionNormalTexVertex[]) vb.Lock(0, LockFlags.ReadOnly);
        for(int i=0; i<100; i++)
        {
            //read some vertex data
            Console.WriteLine("Vertex " + i + "Tu: " +  vbData[i].Tu0 + " , Tv: " + vbData[i].Tv0);
        }

        //Unlock the buffer
        vb.Unlock();


        vb.Dispose();
    }
}