Posted on 2012-11-30 17:44
鑫龙 阅读(14757)
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数据结构与算法
最近在做单调队列，发现了最长上升子序列O(nlogn)的求法也有利用单调队列的思想。
最长递增子序列问题：在一列数中寻找一些数，这些数满足：任意两个数a[i]和a[j]，若i<j，必有a[i]<a[j]，这样最长的子序列称为最长递增子序列。
设dp[i]表示以i为结尾的最长递增子序列的长度，则状态转移方程为：
dp[i] = max{dp[j]+1}, 1<=j<i,a[j]<a[i].
这样简单的复杂度为O(n^2)，其实还有更好的方法。
考虑两个数a[x]和a[y]，x<y且a[x]<a[y],且dp[x]=dp[y]，当a[t]要选择时，到底取哪一个构成最优的呢？显然选取a[x]更有潜力，因为可能存在a[x]<a[z]<a[y]，这样a[t]可以获得更优的值。在这里给我们一个启示，当dp[t]一样时，尽量选择更小的a[x].
按dp[t]=k来分类，只需保留dp[t]=k的所有a[t]中的最小值，设d[k]记录这个值，d[k]=min{a[t],dp[t]=k}。
这时注意到d的两个特点（重要）：
1. d[k]在计算过程中单调不升；
2. d数组是有序的，d[1]<d[2]<..d[n]。
利用这两个性质，可以很方便的求解：
1. 设当前已求出的最长上升子序列的长度为len（初始时为1），每次读入一个新元素x：
2. 若x>d[len]，则直接加入到d的末尾，且len++；（利用性质2）
否则，在d中二分查找，找到第一个比x小的数d[k]，并d[k+1]=x，在这里x<=d[k+1]一定成立（性质1,2）。
- /**
- 最长递增子序列O(nlogn)算法：
- 状态转移方程：f[i] = max{f[i],f[j]+1},1<=j<i,a[j]<a[i].
- 分析：加入x<y,f[x]>=f[y],则x相对于y更有潜力。
- 首先根据f[]值分类，记录满足f[t]=k的最小的值a[t],记d[k]=min{a[t]},f[t]=k.
- 1.发现d[k]在计算过程中单调不上升
- 2.d[1]<d[2]<...<d[k] (反证) 1 2 3 8 4 7
- 解法：
- 1. 设当前最长递增子序列为len,考虑元素a[i];
- 2. 若d[len]<a[i],则len++，并将d[len]=a[i];
- 否则,在d[0-len]中二分查找,找到第一个比它小的元素d[k],并d[k+1]=a[i].()
- */
- #include <iostream>
- #include <cstdio>
- #include <cstring>
- using namespace std;
- const int N = 41000;
- int a[N]; //a[i] 原始数据
- int d[N]; //d[i] 长度为i的递增子序列的最小值
-
- int BinSearch(int key, int* d, int low, int high)
- {
- while(low<=high)
- {
- int mid = (low+high)>>1;
- if(key>d[mid] && key<=d[mid+1])
- return mid;
- else if(key>d[mid])
- low = mid+1;
- else
- high = mid-1;
- }
- return 0;
- }
-
- int LIS(int* a, int n, int* d)
- {
- int i,j;
- d[1] = a[1];
- int len = 1; //递增子序列长度
- for(i = 2; i <= n; i++)
- {
- if(d[len]<a[i])
- j = ++len;
- else
- j = BinSearch(a[i],d,1,len) + 1;
- d[j] = a[i];
- }
- return len;
- }
-
- int main()
- {
- int t;
- int p;
- scanf("%d",&t);
- while(t--)
- {
- scanf("%d",&p);
- for(int i = 1; i <= p; i++)
- scanf("%d",&a[i]);
- printf("%d\n",LIS(a,p,d));
- }
- return 0;
- }