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1.平面上有n条直线,它们中任意两条都不平行,且任意三条都不交于一点。这n条直线可以把平面分割成多少个部分?
   
此问题的变例(即特殊情况):
   
变例1:十刀最多可以把一张饼分成多少块?
   
变例2:一个圆形纸片,切100刀,最多可以将它分割为多少块?
   
对变例2 ,我们首先猜测其结论:
   
令S1,S2,……,Sn分别表示将圆形纸片切一刀,二刀,……,n刀所得块数,则有
    S1 =2=1+1
    S2 =4=1+1+2
    S3 =7=1+1+2+3
    S4 =11=1+1+2+3+4
    ……
    Sn=1+1+2+3+4+……+n=1+(n+1)
·n
    ∴
当n=100时,有S100=1+(100+1)·100=5051(块)
解:设bn表示一条直线被n个不同的点分割后所得的分段数,则有bn=n+1.
   
设an-1 为平面被符合条件的n-1条直线分割成的部分数,则当平面上插入符合条件的第n条直线时,前 n-1条直线与第n 条直线相交于n-1个不同的点,这n-1个点分第n条直线为bn-1段,而每一分段恰分平面上一个已存在的部分为两个部分,于是,有:
    an =an-1 +bn-1
(n>1,n∈N)
   
又: bn-1=n
    ∴ an=an-1+n=an-2+ ( n-1)+ n =
……
        =n+( n-1)+( n-2)+……+2+a1
   
又:a1=2=1+1
    ∴an=n+( n-1)+( n-2 )+
……+2+1+1
  
 

posted on 2011-10-29 00:56 刘聪 阅读(39) 评论(0)  编辑 收藏 引用

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