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以下两个故事出自zhiqiang的blog

选钱袋

现在有两个人,"酷毙"与"帅呆",正在花园里一边喝着酒,一边讨论关于精灵的神话。正好有个精灵从此经过,被他们的对话吸引,精灵认为在 这个时代,还有人这样仰慕和了解他们值得鼓励,于是便决定给这两个人一点奖赏。于是,他把一笔钱放入两个信封,将信封分给"酷毙"与"帅呆",出于喜欢恶 作剧的个性,精灵透露,这两个信封里金额不同,其中一个是另一个的两倍,但他没有说哪个多哪个少。然后精灵随着一缕轻烟消失无踪。

在精灵消失后,两个人拆开信封,偷看自己拿到的那笔钱,同时心里忖度着,自己到底拿到多的那份?还是少的?" 酷毙"心想:这是笔意外之财,我拿到的数额已经很不错了,如果这是多的那份,"帅呆"就只有我的一半;不过,他也可能很走运,拿到我的两倍。再回顾整个过 程,精灵是先把钱装好,密封之后才随机发给我们,因此这是一个对等赌局,两人拿到大份的几率是一半一半。所以也许我应该跟"帅呆"谈个交易,互相交换。既 然我赢得一倍金额和损失一半金额的几率都是50%,则仍有期待净利:我的交换期望收入将是现在所有的 1/2*2+1/2*1/2=5/4倍。根据决策原则,"酷毙"认为这对他相当有利,便决定和"帅呆"交换。即使"酷毙"没有拆开信封也可以作出相同决 定,因为支票的面额并不影响整个思考逻辑。"帅呆"以同样的方式思考后,也认为与"酷毙"进行交易对自己较有利,于是当"酷毙"一提 出交换的建议,"帅呆 "马上欣然允诺。

两人的情况完全一样,都认为自己能遵从一定的逻辑推理规范。那么,有没有可能两人同时都是对的呢?毕竟这是个零和游戏,"酷毙"赢就等于 "帅呆"输,反之亦然,既然不能双赢,就一定有人是错的。但这两人不都是经过缜密逻辑思考了吗?

钱包悖论

一个类似的问题[钱包悖论]:史密斯教授和两个数学学生一起吃午饭。

教授:我来告诉你们一个新游戏,把你们的钱包放在桌子上,我来数里面的钱,钱包里的钱最少的那个人可以赢掉另一个人钱包里的所有钱。

)...

乔:呣……,如果我的钱比吉尔的多,她就会赢掉我的钱,可是,如果她的多,我就会赢多于我的钱,所以我赢的要比输的多。因此这个游戏对我有利。

吉尔:如果我的钱比乔多,他就会赢掉我的钱。可是,如果他的钱比我的多,我就可以赢,而我赢的比输的多,所以游戏对我有利。

问题:一个游戏怎么会对双方都有利呢?注意我们可以假设不但不知道对方的钱的数量,连自己的钱的数量也忘了。



OK,问题阅读完毕,现在我们开始思考这个trick;

问题可以大致归纳如下:一个零和游戏中,博弈双方的数学期望都是正的。
归纳之后,就很容易看出问题的所在了:制造悖论的人,故意将数学期望最大值最优博弈策略混淆开来:

这里我可以举一个例子,以解释数学期望的最大并不等于博弈策略的最佳:
如果你手头有一亿美金,然后有人拉你去参加一次赌博,这个赌博有这样的特征:
1) 你只有参加一次的机会
2)你必须压上你所有的金钱
3)你获胜的几率是一亿分之一
4)赔率是一赔十亿
请问你参加不参加?
是的,这个赌博的特征,与上边悖论中的大致类似;我猜想只要精神正常的人,大概都会拒绝。
那么,如果你的手头只有一美金(或者一美分)呢?你会不会参加?我不知道你怎么想,反正我会去碰碰运气的:)
其实,在这中赌博中,手头金钱越多的人,越趋向于拒绝参加,表现为风险规避的特征;
而手头拮据的人,即使胜率再低一点,也会跃跃欲试的----想必你已经想到为什么历史上揭竿而起的,多是穷苦大众,
而富足人家,大多对谋朝篡位之类的避之不迭,当然,吕不韦是一个异类,无视他好了。

上边是一个定性的分析,下边给出对第一个悖论数学模型的定量计算:

1. 相同数量的金钱,在拥有不同数量身家的人眼里,分量是不一样的,如:
   对于街边乞讨的人和百万富豪来说,一元钱的分量截然不同----据说比尔 大门就是把时间用来数百元大钞,也是亏本的。

2.如承认1. 的假设,那么,上边的"酷毙"与"帅呆",因为他们分得的金钱数量不 同,也就是身家不同,其决策也应当受到影响,如:
"酷毙"获得金钱为2,"帅呆"获得金钱为1,
那么,引入一个金钱分量函数F(x),刻画不同身家对个体贪婪程度的影响。

可以假设
"酷毙"的金钱分量函数为 F1(x) = ln(x-1)            ----分量函数随着金 钱增长而增长,不过缓慢
"帅呆"的金钱分量函数为 F2(x) = x-1                ----分量函数随金钱 增长而增长,快速
(注:因为他们都分得了金币而不知道对方分得多少,让他们对当前金钱的满意度 一样,都为0)
(再注:金钱分量函数,刻画的是对金钱的追求的贪婪程度----同等数量的金 钱,个体越贪婪,其分量函数越大--比尔大门对一元钱的贪婪程度,远远逊色于 一个乞丐:))

这种假设下,如果"酷毙"接受交换,那么交换后,他的身家分量的数学期望为:
_f1 = 0.5*ln(1-1) + 0.5*ln(4-1) = -inf < 0
因此,同意交换是他的最差策略;

如果"帅呆"接受交换,那么交换之后,他的身家的数学期望为:
-f2 = 0.5*(0.5-1) + 0.5*(2-1) = 0.25 >0
此时,同意交换是他的优势策略。

结论如下:
两人是否做出交换的决定,受手里拿到钱的数量的影响,拿到钱愈多的人,愈倾向 于不交换。
原题推理的错误,在于认为同样数量的金钱,对不同的人影响程度一样,
即纯粹的由数学期望大小出发做出的策略,不一定是最优策略,风险必须被考虑在内;
因此,原悖论的产生,是因为策略最佳的概念被数学期望最大偷换了。






posted on 2008-11-24 20:15 Wang Feng 阅读(2010) 评论(10)  编辑 收藏 引用 所属分类: Tao

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# re: 对一类因偷换概念而引发的悖论的思考
2008-11-24 22:43 | abettor
真深刻呀!赞一个!  回复  更多评论
  
# re: 对一类因偷换概念而引发的悖论的思考
2008-11-25 09:23 | doyle
如果"酷毙"和"帅呆"的贪婪程度完全精确的一样呢?
没见过在原来题干上再私自假设一些条件,而且这些假设的条件还不受题干支持
来证明自己的论点的...  回复  更多评论
  
# re: 对一类因偷换概念而引发的悖论的思考
2008-11-25 10:28 | Wang Feng
@doyle
我定量分析中,使用的是一个数学模型;
我不认为一个有着亿万身家的人,还会像乞丐一样热衷于一元钱;
就是说“如果"酷毙"和"帅呆"的贪婪程度完全精确的一样呢?”这种可能在我的考虑中几乎是不存在的。  回复  更多评论
  
# re: 对一类因偷换概念而引发的悖论的思考
2008-11-25 12:07 | doyle
那么上边的悖论也只在您的数学模型中能够成功被化解
或者说,"原悖论的产生,是因为策略最佳的概念被数学期望最大偷换了。"这个结论
只在您的数学模型下成立  回复  更多评论
  
# re: 对一类因偷换概念而引发的悖论的思考
2008-11-25 12:19 | Wang Feng
@doyle
拜托,我定量计算之前还有一个定性分析,那个是相当好理解的。  回复  更多评论
  
# re: 对一类因偷换概念而引发的悖论的思考
2008-11-25 12:24 | doyle
@Wang Feng
好吧
虽然确实很好理解
但是我总是觉得你最后把问题的解决中也有偷换概念的嫌疑...
暂时我仍然比较喜欢悖论成立

策略最佳的计算,依赖在人的贪婪度上...呃...虽然普遍观察下,你的对人的贪婪度的模型应该是正确的...
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# re: 对一类因偷换概念而引发的悖论的思考
2008-12-01 16:48 | blackball
例一:我分到任意一袋的概率是1/2,多的钱数为A少的钱数为a,那么我分得多交换了后手上有a/2+A/2,损失A/2-a/2,如果分得少的交换了最后得到A/2,损失是a-A/2,那么最后的损失都会使A/2-a/2+a-A/2=a/2>0,这么分析,交换是不好的策略。
我觉得贪婪程度可以认为是一个关于自己手里面钱是多还是少的概率估计。我看了自己钱之后觉得是多数的,那么这个概率大于1/2,这样计算就会加入风险程度的因素。
我并不认同你考虑风险(引入一个分量函数)的方式,既复杂,并且难于把握。  回复  更多评论
  
# re: 对一类因偷换概念而引发的悖论的思考[未登录]
2008-12-01 18:41 | feng
@blackball
这个地方有问题:“我分到任意一袋的概率是1/2,多的钱数为A少的钱数为a,那么我分得多交换了后手上有a/2+A/2,损失A/2-a/2,如果分得少的交换了最后得到A/2,损失是a-A/2”,交换后手上不可有a/2+A/2,若手上有A,交换后手上或者有2A,或者有A/2,不存在别的可能,引入a是无意义的。  回复  更多评论
  
# re: 对一类因偷换概念而引发的悖论的思考
2008-12-03 15:06 | zfv
毛!
策略最佳就是数学期望最大
只是你期望算错了
数学没学好啊
靠 拿出来说 真丢人!!!!  回复  更多评论
  
# re: 对一类因偷换概念而引发的悖论的思考
2008-12-03 15:19 | Wang Feng
@zfv
偶高中的时候数学竞赛全国得过奖的,不太可能没学好,更不会丢人。  回复  更多评论
  

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