【转】约瑟夫问题的数学解法

写完密码约瑟夫就想到原来看到约瑟夫问题的一个数学解法   很巧妙很简单 不过只能推出最后一个出列的人

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:

问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换:
k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1

由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],程序也是异常简单:

#include <stdio.h>
int main()
{
  int n, m, i, s=0;
  printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
  for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
  printf ("The winner is %d\n", s+1);
}

这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。可见,适当地运用数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执行效率。

posted on 2008-02-22 11:18 Victordu 阅读(9455) 评论(3)  编辑 收藏 引用

评论

# re: 【转】约瑟夫问题的数学解法 2012-01-25 10:22 秒钟

强!顶了  回复  更多评论   

# re: 【转】约瑟夫问题的数学解法 2012-04-26 19:15 GDUT_Sai

强大啊!  回复  更多评论   

# re: 【转】约瑟夫问题的数学解法 2012-10-21 14:09 XIAOHUA

李尚志对中学生们不负责地写下了的一首数学诗
三等分角与数域扩张
李尚志
一角三分本等闲,尺规限制设难关。
几何顽石横千载,代数神威越九天。
步步登攀皆是二,层层寻觅杳无三。
黄泉碧落求真諦,加减乘除谈笑间。
注:
1. 这些诗都是为湖南教育出版社编写的高中教材写的“章头诗”,每一章前面写一首,以概括这一章的主要内容的思想或方法。
2. 李尚志,数学家,北京航空航天大学博士生导师.
3. 尺规作图只能将数域不断作二次扩张,永远也不能包含不可约三次方程的根。这是证明三等分角不可尺规作图的关键。
数域扩张、数域不断作二次扩张、实数数域有限次地作二次扩张、有理数数域有限次地作二次扩张。它们是不一样的。在这几个相互有联系的内容之间它们有着“大小”和“弱强”的概念差别。李尚志把它们当作同一个内容来使用了。李尚志作了一首荒唐的诗。这也是必须翻过来的一个数学案。
现行与尺规作图相关可能与否的理论是使用了1637年笛卡尔的一些数学理论,以及采用了伽罗华数学理论中的相应思路。如果现行与尺规作图相关可能与否的理论是正确的,则就无话可说。反之,如果这个理论是有问题的。那么,自1637年笛卡尔以来的一些数学理论中的不足,以及伽罗华数学理论中相应思路的缺陷,就终将不可避免的暴露出来。这是数学界必须面对的问题。也是数学界原本不应该放弃的数学内容。
搞数学的人讲究的是严谨。什么语言对应着什么样的数学内容。
尺规作图将会迫使搞数学的人去应对它这个数学内容。因为尺规作图不只是在处理着一些世界难题等内容,其实尺规作图还在撬动着数学的基础。  回复  更多评论   


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