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  2009年11月4日

北大1067

有两堆石子,数量任意,可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定,每次有两种不同的取法,一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子;二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目,如果轮到你先取,假设双方都采取最好的策略,问最后你是胜者还是败者。

题目是这样的,自己也想了半天,觉得没有什么思路,后来在网上查了些资料,然后整理了一下,如下:

用(akbk)(ak bk ,k=012...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(00),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是:(00)、(12)、(35)、(47)、(610)、(813)、(915)、(1118)、(1220)。

    可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数, bk= ak + k,奇异局势有

如下三条性质:

 

    1。任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。

    由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性质1。成立。

    2。任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。

    事实上,若只改变奇异局势(akbk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。如果使(akbk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势。

    3。采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。

 

    假设面对的局势是(a,b),若 b = a,则同时从两堆中取走 a 个物体,就变为了奇异局势(00);如果a = ak b > bk,那么,取走b  - bk个物体,即变为奇异局势;如果 a = ak   b < bk ,则同时从两堆中拿走 ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak+ b - ak);如果a > ak b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可;如果a < ak b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj j < k,从第二堆里面拿走 b - bj 即可;第二种,a=bj j < k,从第二堆里面拿走 b - aj 即可。

 

    从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者取胜。

 

    那么任给一个局势(ab),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:

    ak =[k1+5/2]bk= ak + k  k=012...,n 方括号表示取整函数)

奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+5/2 = 1618...,因此,akbk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/1+5=(√5-1/2,可以先求出j=[a(√5-1/2],若 a=[j1+5/2],那么a = ajbj = aj + j,若不等于,那么a = aj+1bj+1 = aj+1+ j + 1,若都不是,那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。

具体的实现如下:

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main()
{
    int a,b,k,temp,data;
    double r=0.6180339887,R=1/r;
    while(scanf("%d %d",&a,&b)==2)
          {
                if(a>b){
                    temp=b;
                    b=a;
                    a=temp;
                   }
                  k =b-a;
                  data=(int)(k*R);
                  if(a==data)
                      printf("%d\n",0);
                   else
                       printf("%d\n",1);
          }
          return 0;
}


posted @ 2009-11-04 23:35 华工IBM算法小组 阅读(397) | 评论 (1)编辑 收藏

大家好,这是我们算法小组的blog,以后大家做完题目后,可以把做题思路写到我们的博客哦!

posted @ 2009-11-04 23:02 华工IBM算法小组 阅读(89) | 评论 (1)编辑 收藏
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