KISS(Keep It Simple, Standard)

  C++博客 :: 首页 :: 联系 :: 聚合  :: 管理
  10 Posts :: 0 Stories :: 24 Comments :: 0 Trackbacks

常用链接

留言簿(10)

我参与的团队

搜索

  •  

最新评论

阅读排行榜

评论排行榜

本算法只采用移位、加减法、判断和循环实现,因为它不需要浮点运算,也不需要乘除运算,因此可以很方便地运用到各种芯片上去。

我们先来看看10进制下是如何手工计算开方的。
先看下面两个算式,
x = 10*p + q  (1)
公式(1)左右平方之后得:
x^2 = 100*p^2 + 20pq + q^2 (2)
现在假设我们知道x^2和p,希望求出q来,求出了q也就求出了x^2的开方x了。
我们把公式(2)改写为如下格式:
q = (x^2 - 100*p^2)/(20*p+q) (3)

这个算式左右都有q,因此无法直接计算出q来,因此手工的开方算法和手工除法算法一样有一步需要猜值。

我们来一个手工计算的例子:计算1234567890的开方

首先我们把这个数两位两位一组分开,计算出最高位为3。也就是(3)中的p,最下面一行的334为余数,也就是公式(3)中的(x^2 - 100*p^2)近似值
    3
  ---------------
 / 12 34 56 78 90
    9
  ---------------
 /  3 34

下面我们要找到一个0-9的数q使它最接近满足公式(3)。我们先把p乘以20写在334左边:
                           3  q
                         ---------------
                        / 12 34 56 78 90
                           9
                         ---------------
(20*3+q)*q      /  3 34

我们看到q为5时(60+q)*q的值最接近334,而且不超过334。于是我们得到:
      3  5
    ---------------
   / 12 34 56 78 90
      9
    ---------------
65 /  3 34
      3 25
    ---------------
         9 56

接下来就是重复上面的步骤了,这里就不再啰嗦了。

这个手工算法其实和10进制关系不大,因此我们可以很容易的把它改为二进制,改为二进制之后,公式(3)就变成了:
q = (x^2 - 4*p^2)/(4*p+q) (4)

我们来看一个例子,计算100(二进制1100100)的开方:
       1  0  1  0
      -----------
     / 1 10 01 00
       1
      -----------
 100 / 0 10
       0 00
      -----------
1001 /   10 01
         10 01
      -----------
          0 00

这里每一步不再是把p乘以20了,而是把p乘以4,也就是把p右移两位,而由于q的值只能为0或者1,所以我们只需要判断余数(x^2 - 4*p^2)和(4*p+1)的大小关系,如果余数大于等于(4*p+q)那么该上一个1,否则该上一个0。

下面给出完成的C语言程序,其中root表示p,rem表示每步计算之后的余数,divisor表示(4*p+1),通过a>>30取a的最高 2位,通过a<<=2将计算后的最高2位剔除。其中root的两次<<1相当于4*p。程序完全是按照手工计算改写的,应该不难理解。
unsigned short sqrt(unsigned long a){
  unsigned long rem = 0;
  unsigned long root = 0;
  unsigned long divisor = 0;
  for(int i=0; i<16; ++i){
    root <<= 1;
    rem = ((rem << 2) + (a >> 30));
    a <<= 2;
    divisor = (root<<1) + 1;
    if(divisor <= rem){
      rem -= divisor;
      root++;
    }
  }
  return (unsigned short)(root);
}

posted on 2008-01-23 14:21 QUIRE-0216 阅读(4971) 评论(1)  编辑 收藏 引用 所属分类: Arithmetic(算法)

Feedback

# re: 利用移位、加减法实现整数开平方算法的方法(转) 2008-01-23 14:46 QUIRE-0216
为了大家能理解我把上面 1234567890 给做完!
              3 5 q
               ---------------
               / 12 34 56 78 90
               9
               ---------------
               65 / 3 34
               3 25
               ---------------
(20*35+q)*q /  9 56
我们看到q为1时(700+q)*q的值最接近956,而且不超过956。于是我们得到:
              3 5 1 q
               ---------------
               / 12 34 56 78 90
               9
               ---------------
               65 / 3 34
               3 25
               ---------------
701 /   9 56
7 01
----------------
(20*351+q)*q / 2 55 78

我们看到q为3时(20*351+q)*q的值最接近25578,而且不超过25578。于是我们得到:

              3 5 1 3 q
               ---------------
               / 12 34 56 78 90
               9
               ---------------
               65 / 3 34
               3 25
               ---------------
701 /   9 56
7 01
----------------
7023 / 2 55 78
2 10 69
----------------
(20*3513+q)*q / 45 0990

我们看到q为6时(20*3513+q)*q的值最接近450990,而且不超过450990。于是我们得到:
              3 5 1 3 6
               ---------------
               / 12 34 56 78 90
               9
               ---------------
               65 / 3 34
               3 25
               ---------------
701 /   9 56
7 01
----------------
7023 / 2 55 78
2 10 69
----------------
70266 / 45 0990
42 1596
----------------
2 9394

至此1234567890的根为35136.我想能看明白吧!




  回复  更多评论
  


只有注册用户登录后才能发表评论。
网站导航: 博客园   IT新闻   BlogJava   知识库   博问   管理