这里利用到数论中求n！最尾非零数的非零数字的方法（下列数字2，5，1，3，7，9均表示数的个位）：

1)因为2，5组成10，故可以删去能配对的2,5，记录下剩余2的个数；（2显然多于5）

2)每一个数，在mod2,5之后只有1,3,7,9四种结果，1可以忽略不计，故我们只需要统计3,7,9的个数

统计方法如下：f(n,x)和g(n,x)中的n代表n!中的n，x取3，7，9中的一个

有：f(n,x)=f(n/2,x)+g(n,x)

g(n,x)=n/10+g(n/5,x)+k

if (n>=x) k=1; else k=0;

这里面是将阶层中的项分为奇数项和偶数项，其中先对奇数项求3,7或9的个数。这里面，很容易知道，每10个数里面一定有一个以3,7或者9结尾的数，而且当n>=3，7或9时，必存在一个3,7,9（当n=16时，前10个数有一个以3结尾，而13也是以上结尾，所以此处有两个3，不是n/10）；另外由于要约去成对的2和5那么无可避免的会出现其他的数字（2,3,7,9,1,其中2另外考虑），所以此处要加上g(n/5,x)。对于偶数项，不难发现当偶数项除以2（这里的2由于有另外统计，所以除后对结果没有影响）后就变成了n！的前一半（如10！有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，偶数项除以而后可以转化为1,2,3,4,5。）。

3)最后，找规律，如出现几个2的乘积末尾是多少~~

代码：

 1#include <cstdio>
 2#include <string>
 3#include <iostream>
 4using namespace std;
 5
 6int n,m,a,b,c,temp,temp1,d;
 7int p(int n,int x)
 8{
 9    if(n<x) return 0;
10    return n/x+p(n/x);
11}
12int g(int n,int x)
13{  if (n<1) return 0;
14   else
15     if (n%10>=x) return n/10+1+g(n/5,x);
16     return n/10+g(n/5,x);
17}
18int f(int n,int x)
19{  if (n<1) return 0;
20   else return f(n/2,x)+g(n,x);
21}
22void working()
23{ int k;
24  a=f(n,3)-f(n-m,3);
25  b=f(n,7)-f(n-m,7);
26  c=f(n,9)-f(n-m,9);
27  temp=p(n,5)-p(n-m,5);
28  temp1=p(n,2)-p(n-m,2);
29  d=temp1-temp;
30  if (a%4==0) a=1; else
31  if (a%4==1) a=3; else
32  if (a%4==2) a=9; else
33  if (a%4==3) a=7;
34
35  if (b%4==0) b=1; else
36  if (b%4==1) b=7; else
37  if (b%4==2) b=9; else
38  if (b%4==3) b=3;
39
40  if (c%4==0) c=1; else
41  if (c%4==1) c=9; else
42  if (c%4==2) c=1; else
43  if (c%4==3) c=9;
44
45  if (d%4==0) d=6; else
46  if (d%4==1) d=2; else
47  if (d%4==2) d=4; else
48  if (d%4==3) d=8; 
49
50  printf("%d\n",a*b*c*d%10);
51
52}
53int main()
54{  while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
55   { working();
56   }
57
58}
59

       欧拉函数通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1      （唯 一和1互质的数就是1本身）。 
       
      
代码：

 1#include <iostream>
 2#include <cstdio>
 3#include <cmath>
 4#include <cstring>
 5
 6using namespace std;
 7
 8int n,T;
 9
10int euler(int x)
11{  int i,res=x;
12   for (i=2; i<(int)sqrt(x*1)+1; i++)
13     {  if (x % i ==0)
14           {
15               res=res/i*(i-1);
16               while (x % i==0) x=x/i;
17           }
18     }
19    if (x>1) res=res/x*(x-1);
20    return res;
21
22}
23
24int main()
25{   cin >> T;
26    while (T--)
27    {  cin >> n;
28       cout << euler(n)<< endl;
29
30    }
31    return 0;
32}
33

 1long long mod_exp(long long a,long long b0,long long n)
 2{
 3    if( a > n ) a %= n;
 4    long long i, d = 1, b[35];
 5    for( i=0; i < 35; ++i ){
 6        b[i] = b0%2;
 7        b0 /= 2;
 8        if( b0 == 0 )  break;
 9    }
10    for( ;i >= 0; --i ){
11        d = (d*d)%n;
12        if( b[i] == 1 )  d = (d*a)%n;
13    }
14    return d;
15}

代码：

 1#include <iostream>
 2#include <cstdio>
 3#include <cstring>
 4#include <cmath>
 5
 6using namespace std;
 7
 8int n;
 9
10long long mod_exp(long long a,long long b0,long long n)
11{
12    if( a > n ) a %= n;
13    long long i, d = 1, b[35];
14    for( i=0; i < 35; ++i ){
15        b[i] = b0%2;
16        b0 /= 2;
17        if( b0 == 0 )  break;
18    }
19    for( ;i >= 0; --i ){
20        d = (d*d)%n;
21        if( b[i] == 1 )  d = (d*a)%n;
22    }
23    return d;
24}
25
26int main()
27{
28    while(~scanf("%d",&n))
29    {
30        if(n == 0) break;
31        printf("%I64d\n",(mod_exp(2,(n-1),n)+1)%n);
32    }
33    return 0;
34}
35