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Problem D:【算法】:排列的字典序问题

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Description

n个元素{1,2,..., n }有n!个不同的排列。将这n!个排列按字典序排列，并编号为0，1，…，n!-1。每个排列的编号为其字典序值。例如，当n=3时，6 个不同排列的字典序值如下：

任务：给定n 以及n 个元素{1,2,..., n }的一个排列，计算出这个排列的字典序值，以及按字典序排列的下一个排列。
Input

第1 行是元素个数n(n < 15)。接下来的1 行是n个元素{1,2,..., n }的一个排列。

Output

第一行是字典序值，第2行是按字典序排列的下一个排列。

Sample Input
8
2 6 4 5 8 1 7 3

Sample Output
8227
2 6 4 5 8 3 1 7
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字典序法：
字典序法中，对于数字1、2、3......n的排列，不同排列的先后关系是从左到右逐个比较对应的数字的先后来决定的。例如对于5个数字的排列 12354和12345，排列12345在前，排列12354在后。按照这样的规定，5个数字的所有的排列中最前面的是12345，最后面的是 54321。
字典序算法如下：
设P是1～n的一个全排列:p=p1p2......pn=p1p2......pj-1pjpj+1......pk-1pkpk+1......pn
1）从排列的右端开始，找出第一个比右边数字小的数字的序号j（j从左端开始计算），即   j=max{i|pi<pi+1}
2）在pj的右边的数字中，找出所有比pj大的数中最小的数字pk，即 k=max{i|pi>pj}（右边的数从右至左是递增的，因此k是所有大于pj的数字中序号最大者）
3）对换pi，pk
4）再将pj+1......pk-1pkpk+1pn倒转得到排列p'=p1p2.....pj-1pjpn.....pk+1pkpk-1.....pj+1，这就是排列p的下一个下一个排列。
例如839647521是数字1～9的一个排列。从它生成下一个排列的步骤如下：
自右至左找出排列中第一个比右边数字小的数字4          839647521
在该数字后的数字中找出比4大的数中最小的一个5        839647521
将5与4交换                                                                         839657421
将7421倒转                                                                          839651247
所以839647521的下一个排列是839651247。

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#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

void dict_sort(int arr[],int size);
int find_first_small(int arr[],int size);
int find_smallest(int arr[],int start,int size);
void swap(int arr[],int idx1,int idx2);
void converse(int arr[],int start,int end);
int factorial(int n);
int find_position(int arr[],int size,int *pos);

int main(void)
{
int i,n,val;
int pos;
int *a;

scanf("%d",&n);
a=(int*)malloc(n*sizeof(int));

for(i=0;i<n;i++)
{
   scanf("%d",&a[i]);
   //a[i]=val;
}

dict_sort(a,n);
find_position(a,n,&pos);

printf("%d\n",pos);
for(i=0;i<n;i++)
   printf("%d ",a[i]);

return 0;
}

void dict_sort(int arr[],int size)
{

int idx1;
int idx2;

idx1=find_first_small(arr,size);

if(idx1==-1)
{
   printf("the last one...\n");
   return ;
}

idx2=find_smallest(arr,idx1+1,size);
swap(arr,idx1,idx2);
converse(arr,idx1+1,size-1);
}

int find_position(int arr[],int size,int *pos)
{
int i,nr;
int sum=0;
for(i=0;i<size-1;i++)
{
   nr=get_counter(arr,i,size);

   if(nr>0)
    sum += nr*factorial(size-i-1);
}
*pos=sum+1;

return *pos;
}

int factorial(int n)
{
int rt=1;
while(n>0)
{
   rt *=n;
   n--;
}
}

int find_first_small(int arr[],int size)
{
int i=size-1;

for(i=size-1;i>=0;i--)
{
   if(arr[i-1]<arr[i])
    return i-1;
}

return -1;
}

int get_counter(int arr[],int start,int size)
{
int i;
int counter=0;
int start_val=arr[start];

for(i=start+1;i<size;i++)
{
   if(arr[i]<start_val)
    counter++;
}

return counter;
}

int find_smallest(int arr[],int start,int size)
{
int i;
int pos=start;
int start_val=arr[start-1];
int key=arr[start];

for(i=start+1;i<size;i++)
{
   if(arr[i]>start_val&&arr[i]<key)
   {
    key=arr[i];
    pos=i;
   }

}

return pos;
}

void swap(int arr[],int idx1,int idx2)
{
int tmp=arr[idx1];

arr[idx1]=arr[idx2];
arr[idx2]=tmp;
}

void converse(int arr[],int start,int end)
{
int i=end;

for(i=end;i>=(start+end+1)/2;i--)
{
   swap(arr,end-i+start,i);
}
}

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文章来源:http://hi.baidu.com/janqii/blog/item/a181ba5b08102b8d800a18a6.html

1、随机排列数组

方法1：给每个元素A[i]随机分配一个优先级p[i]，然后按照优先级对数组A进行排序。例如初始A=<1,2,3,4>而且随机得到的优先级数组P=<36,3,97,19>，则得出随即数组B=<2,4,1,3>。这个过程称为PERMUTE_BY_SORTING。时间复杂度为O(nlgn)

方法2：原地排列给定数列。在第i次迭代时，元素A[i]是从元素A[i]到A[n]中随机选取的。时间复杂度为O(n)

n=length[A];

for i=1 to n

do swap(A[i], A[RANDOM(i,n)])

2、生日悖论

对于n=365，如果k=28，即如果至少有28个人，则可以期望至少有1对人的生日相同。

在n天中，k个人生日互不相同的组合有P(n,k)中，所有的组合（包括相同的）有n的k次方中，记为n^k，则k个人生日互不相同的概率为P(n,k)/n^k。

当k>=23时，P(n,k)/n^k<50%，则1-P(n,k)/n^k>50%，也就是说，当一个房间里有23个人时，至少有两个人生日相同的概率大于50%。

3、赠券收集者问题

一个人如果想要收集齐b种不同赠券中的每一种，大约需要b*lnb张随机得到的赠券才能完成。

用球和盒子的模型说明：把相同的球随机投到b个盒子中去。  

1>有多少个求落入指定的盒子中？服从二态分布(k；n，1/b)，则期望值为n/b

2>在给定的盒子中至少一个球之前，平均需要投多少个球？服从几何分布，概率为1/b，成功前的期望个数为1/(1/b)=b

3>在每个盒子至少有一个球之前，要投多少个球？

我们称一次投球中落入一个空盒子为“击中”。

将n次投球分成b个阶段，阶段i包括第i-1次击中到i次击中之间的投球次数。第i阶段的每一次投球有i-1个盒子有球，n-k+1个盒子是空的，这样第i阶段的所有投球击中的概率都为（n-k+1）/b

用ni表示第i阶段的投球次数

n=SUM(ni)<i=1 to b>    每个随机变量ni都服从几何分布，成功概率为(n-k+1)/b

则      E(ni)=b/(b-k+1)

E(n)=E(SUM(ni))=SUM(E(ni))=SUM(b/(b-k+1))=b*SUM(1/(b-k+1))

根据调和级数的界可得 E(n)=b*(b+……+1/2+1)=b*(ln(n)+O(1))

所以大约投球b*lnb次就可以满足条件

4、最长序列问题

抛一枚均匀硬币n次，期望看到连续正面的最长序列有多长？答案是O(lgn)。

用X(i,k)=I{A(i,k)}表示对应于长度为k的序列开始于第i次抛硬币的指示器随机变量。

定义 X=SUM(X(i,k))<i=1 to n-k+1>

则     E(X)=E(....)=...=SUM(1/2^k)=(n-k+1)/2^k

令     k=clgn，对某个常数c，有

E(X)=......=O(1/n^(c-1))

当c<1/2时，E(X)=O(n^(1/2))，期望会有大量长为1/2*lgn的序列，因此，最长序列期望值长度为O(lgn)

5、苏格拉底的捡麦穗问题

怎么才可以捡到期望的最大麦穗呢？

方法是在前k次中不捡麦穗，但是比较找出最大麦穗并记住，在后面的n-k个麦穗中第一次遇到比前k个中的最大的还要大的麦穗就捡起，就是目标麦穗。如果没有发现比前k个还要大的，就捡最后一个第n个。

这里的关键是取好k的值，使得能够捡到最大的麦穗的可能性最大，根据算法导论（中文版）第67和68页分析，这个k值取n/e时，则可以至少有1/e的概率渠道最大的麦穗。k=n/e

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文章来源:http://hi.baidu.com/janqii/blog/item/a23e93df0fa9fdadcd1166d8.html

如果使用概率算法的话，虽然速度较快，但会有一定的误差，而且这种误差还不稳定。
考虑使用确定算法，一般来讲，单词数量越多，第n个需要进行比较的单词操作时间越长。
今天在bbs上看到一种字典序的方法，每个单词与已经存在的单词的比较的时间花费只和自身的长度有关。也就是这样做得：
单词中的第i（0<i<n+1）位字母有26（对应26个英文字母）个预置位置，其(ASII－'a')值为其占有的位置，每个位置设置1个标志位标识该位是否是单词结束字母位置，定义每个对象都包含26个预留位置、1个标志符和指向下一个对象的指针。每个单词只需要按照顺序寻找第i位字母的对应位置，如果位置被占，直接寻找第i+1个字母的位置，如没有被占，就把这个位置new出来，直到最后一个字母，然后查看最后一位字母的位置的标识，如是被修改过，则是重复出现的单词，否则是新单词。  叙述的很乱，还是直接上代码吧。

＠感谢LevinLin同学的贡献

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文章来源:http://hi.baidu.com/janqii/blog/item/ec5ba7bcbf08b90619d81ff8.html

unsigned int SDBMHash(char *str)
{
unsigned int hash = 0;

while (*str)
{
// equivalent to: hash = 65599*hash + (*str++);
hash = (*str++) + (hash << 6) + (hash << 16) - hash;
}

return (hash & 0x7FFFFFFF);
}

// RS Hash Function
unsigned int RSHash(char *str)
{
unsigned int b = 378551;
unsigned int a = 63689;
unsigned int hash = 0;

while (*str)
{
hash = hash * a + (*str++);
a *= b;
}

return (hash & 0x7FFFFFFF);
}

// JS Hash Function
unsigned int JSHash(char *str)
{
unsigned int hash = 1315423911;

while (*str)
{
hash ^= ((hash << 5) + (*str++) + (hash >> 2));
}

return (hash & 0x7FFFFFFF);
}

// P. J. Weinberger Hash Function
unsigned int PJWHash(char *str)
{
unsigned int BitsInUnignedInt = (unsigned int)(sizeof(unsigned int) * 8);
unsigned int ThreeQuarters    = (unsigned int)((BitsInUnignedInt  * 3) / 4);
unsigned int OneEighth        = (unsigned int)(BitsInUnignedInt / 8);
unsigned int HighBits         = (unsigned int)(0xFFFFFFFF) << (BitsInUnignedInt - OneEighth);
unsigned int hash             = 0;
unsigned int test             = 0;

while (*str)
{
hash = (hash << OneEighth) + (*str++);
if ((test = hash & HighBits) != 0)
{
hash = ((hash ^ (test >> ThreeQuarters)) & (~HighBits));
}
}

return (hash & 0x7FFFFFFF);
}

// ELF Hash Function
unsigned int ELFHash(char *str)
{
unsigned int hash = 0;
unsigned int x    = 0;

while (*str)
{
hash = (hash << 4) + (*str++);
if ((x = hash & 0xF0000000L) != 0)
{
hash ^= (x >> 24);
hash &= ~x;
}
}

return (hash & 0x7FFFFFFF);
}

// BKDR Hash Function
unsigned int BKDRHash(char *str)
{
unsigned int seed = 131; // 31 131 1313 13131 131313 etc..
unsigned int hash = 0;

while (*str)
{
hash = hash * seed + (*str++);
}

return (hash & 0x7FFFFFFF);
}

// DJB Hash Function
unsigned int DJBHash(char *str)
{
unsigned int hash = 5381;

while (*str)
{
hash += (hash << 5) + (*str++);
}

return (hash & 0x7FFFFFFF);
}

// AP Hash Function
unsigned int APHash(char *str)
{
unsigned int hash = 0;
int i;

for (i=0; *str; i++)
{
if ((i & 1) == 0)
{
hash ^= ((hash << 7) ^ (*str++) ^ (hash >> 3));
}
else
{
hash ^= (~((hash << 11) ^ (*str++) ^ (hash >> 5)));
}
}

return (hash & 0x7FFFFFFF);
} 阅读全文
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文章来源:http://hi.baidu.com/janqii/blog/item/9402270b263c24990a7b8229.html

原来ABC还可以译作“原理，原则”来着，呵呵。。。偶然发现。

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这两天在读《设计模式精解》（其实该叫做“设计模式入门导读”），设计模式是从建筑学借来的一个词汇，是指“在某一个情景下的问题解决方案”。

在软件设计中，“四人团”总结提炼出23种模式（设计模式入门导读只列举了10种），分为结构型（Facade,Adapter,Bridge,Decorator等），行为型（Strategy，Observer等）和创建型 （Abstract Factory,Singleton等）三种大的类别。

这些模式总体上遵循一些原则：
1、封装变化。
2、优先使用对象组合，而不是优先使用继承

另外，关于对象的理解。
站在概念规格上，把对象看成是具有责任的实体；而非仅仅是在实现规格上，把它看作数据和方法的集合。 阅读全文
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文章来源:http://hi.baidu.com/janqii/blog/item/5182eb09ce178b32b1351d86.html