求最大公约数欧几里德算法

TH — Wed, 31 May 2006 03:33:00 GMT

欧几里德算法
欧几里德算法(辗转相除法)，用于计算两个整数a,b的最大公约数。
其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有 d|a, d|b，
而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb + r
因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证!

（注 x|y：y可以被x整除，即 y mod x == 0 ）

算法描述：
前提：a > b > 0 .
返回：a,b的最大公约数。
程序：
int gcd( int a, int b)
{
     for ( int r = a % b; r != 0 ; r = a % b){
        a = b;
        b = r;
    }
     return b;
}

本知识来源于网络.

TH 2006-05-31 11:33 发表评论

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