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RMQ 算法 pku3264

zzg — Thu, 04 Jun 2009 11:37:00 GMT

RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在[i,j]里的最小(大)值。
最简单的算法我就不解释了，直接搜。但是对于数据量非常大时，这种方法并不适用。所以我们可以使用线段树来记录这个最大（小）值，效率咋算我还不是很了解，反正是一个nlogn形式的。但是线段树的建立和查询都是这个效率。不过有一个更好的方法，那就是ST算法（Sparse Table）：它是一种动态规划的方法。以最小值为例。a为所寻找的数组，用一个二维数组f(i,j)记录区间[i,i+2^j-1]区间中的最小值。其中f[i,0] = a[i];
所以，对于任意的一组(i,j)，f(i,j) = min{f(i,j-1),f(i+2^(j-1),j-1)}来使用动态规划计算出来。
这个算法的高明之处不是在于这个动态规划的建立，而是它的查询：它的查询效率是O(1)！如果不细想的话，怎么弄也是不会想到有O（1）的算法的。假设我们要求区间[m,n]中a的最小值，找到一个数k使得2^k不得不佩服想出这个算法的人啊！
具体的代码可以看poj 3264。
不过还是要说几个注意的地方：
开辟这个二维数组f的时候注意其第二维不要开的过大，因为2的指数会很大的，到时候在自己机器上都无法运行。
在动态规划计算数组f的时候，用对2取对数来计算上面说的k，那样速度好一点。计算出k后，注意对循环控制变量的范围控制，而且一旦超出了范围，那么该值便不必计算。
算指数的时候可以用>>和<<来计算，不过注意加括号。
在查询的时候，k值仍然可以用对2取对数。

例程：pku 3264
#include
#include
#include
using namespace std;
#define maxn 50001
int a[maxn];
int dpmax[maxn][40];
int dpmin[maxn][40];
int getmin(int a,int b)
{
    if(a    else    return b;
}
int getmax(int a,int b)
{
    if(a>b) return a;
    else    return b;
}
void Make_Big_RMQ(int n)
{
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=n;i++) dpmax[i][0]=a[i];
    for(j=1;j<=log((double)n)/log(2.0);j++)
        for(i=1;i+(1<        {
            dpmax[i][j]=getmax(dpmax[i][j-1],dpmax[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
}
void Make_Min_RMQ(int n)
{
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=n;i++) dpmin[i][0]=a[i];
    for(j=1;j<=log((double)n)/log(2.0);j++)
        for(i=1;i+(1<        {
            dpmin[i][j]=getmin(dpmin[i][j-1],dpmin[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
}
int get_big_rmq(int a,int b)
{
    int k=(int)(log((double)(b-a+1))/log(2.0));
    return getmax(dpmax[a][k],dpmax[b-(1<}
int get_min_rmq(int a,int b)
{
    int k=(int)(log((double)(b-a+1))/log(2.0));
    return getmin(dpmin[a][k],dpmin[b-(1<}
int main()
{
    int n,m,i,j,k,q,x,y;
    while(scanf("%d%d",&n,&q)!=EOF)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
        Make_Big_RMQ(n);

        Make_Min_RMQ(n);

        for(i=1;i<=q;i++)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            printf("%d\n",get_big_rmq(x,y)-get_min_rmq(x,y));
        }

    }


    return 0;
}

zzg 2009-06-04 19:37 发表评论

pku 1742 Coins

zzg — Tue, 31 Mar 2009 10:44:00 GMT

1 #include<iostream>
2 using namespace std;
3 int cnt[100001];
4 bool  f[100001];
5 typedef struct{
6     int value,num;
7 }S;
8 S coin[110];
9 int main()
10 {
11     int n,m;
12     int i,j,k,count;
13     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
14     {
15         if(n==0&&m==0) break;
16         for(i=0;i<n;i++)
17         scanf("%d",&coin[i].value);
18         for(i=0;i<n;i++)
19         scanf("%d",&coin[i].num);
20         for(i=1;i<=m;i++)
21         f[i]=false;
22         f[0]=true;
23         count=0;
24         for(i=0;i<n;i++)
25         {
26             for(j=0;j<=m;j++)
27             cnt[j]=0;
28             for(j=coin[i].value;j<=m;j++)
29             {
30                 if(!f[j]&&f[j-coin[i].value]&&cnt[j-coin[i].value]<coin[i].num)// key point
31                 {cnt[j]=cnt[j-coin[i].value]+1;f[j]=true;count++;}    //here we use cnt[] to
32                                             //record the num of coins
33                                             // of this kind has used;
34             }
35         }
36         printf("%d\n",count);
37     }
38     return 0;
39 }
40

zzg 2009-03-31 18:44 发表评论

Tire树学习（转）

zzg — Sun, 15 Mar 2009 03:48:00 GMT

字典树(trie tree)

今天AC了两题trie tree的题目,感觉trie的性质真的是相当的好，而且实现比较简单。它使在字符串集合中查找某个字符串的操作的复杂度降到最大只需O(n),其中n为字符串的长度。trie是典型的将时间置换为空间的算法，好在ACM中一般对空间的要求很宽松。

trie的原理是利用字符串集合中字符串的公共前缀来降低时间开销以达到提高效率的目的。

它具有以下性质:1,根结点不包含任何字符信息;2,如果字符的种数为n,则每个结点的出度为n(这样必然会导致浪费很多空间,这也是trie的缺点,我还没有想到好点的办法避免);3,查找，插入复杂度为O(n),n为字符串长度。

举一个例子,给50000个由小写字母构成的长度不超过10的单词,然后问某个公共前缀是否出现过。如果我们直接从字符串集中从头往后搜，看给定的字符串是否为字符串集中某个字符串的前缀，那样复杂度为O(50000^2)，这样显然会TLE。又或是我们对于字符串集中的每个字符串，我们用MAP存下它所有的前缀。然后询问时可以直接给出结果。这样复杂度为O(50000*len),最坏情况下len为字符串最长字符串的长度。而且这没有算建立MAP存储的时间，也没有算用MAP查询的时间，实际效率会更低。但如果我们用trie的话，当查询如字符串abcd是否为某字符串的前缀时，显然以b,c,d....等不是以a开头的字符串就不用查找了。实际查询复杂度只有O(len)，建立trie的复杂度为O(50000).这是完全可以接受的。

如给定字符串集合abcd,abd,cdd,efg,hij,hi六个字符串建立的trie tree如下图所示:

查找一个字符串时，我们只需从根结点按字符串中字符出现顺序依次往下走。如果到最后字符串结束时，对应的结点标记为红色，则该字符串存在;否则不存在。

插入时也只需从根结点往下遍历，碰到已存在的字符结点就往下遍历，否则，建立新结点;最后标记最后一个字符的结点为红色即可。

同时我们看到,如果字符的种类为n，则需要结点的个数为n级数。(谁有好办法降低空间开销,请告诉我)

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1251

题目和我上面举的例子差不多，是说给定一个字符串集合，然后每次询问时给出一个字符串，问以该字符串为前缀的字符串在集合中有多少个。先给个用MAP版本的，限时2000MS的题目，用MAP，1750MS，险过。

我的代码：

1#include<iostream>
2using namespace  std;
3const int kind=26;
4struct trienode{
5    public:
6    trienode *next[kind];
7    int branch;
8    trienode()
9    {
10     branch=0;
11     for(int i=0;i<kind;i++)
12     next[i]=NULL;
13    }
14};
15class trie{
16
17    trienode *root;
18    public:
19    trie(){root=NULL;}
20    void insert(char s[])
21    {
22        trienode *location=root;
23        if(location==NULL)
24        location=root=new trienode();
25        int i=0,k;
26        while(s[i])
27        {
28            k=s[i]-'a';
29            if(location->next[k])
30                location->next[k]->branch++;
31            else
32            {
33                location->next[k]=new trienode();
34                location->next[k]->branch++;
35            }
36            i++;
37            location=location->next[k];
38        }
39    }
40    int search(char s[]){
41        trienode *location=root;
42        if(!location) return 0;
43        int k,i=0,ans;
44        while(s[i])
45        {
46            k=s[i]-'a';
47            if(!location->next[k])
48             return 0;
49            ans=location->next[k]->branch;
50            location=location->next[k];
51            i++;
52        }
53        return ans;
54    }
55
56};
57int main()
58{
59    char a[100];
60    int i;
61    trie mytrie;
62    while(gets(a))
63    {
64        if(a[0]=='\0')
65        break;
66        mytrie.insert(a);
67    }
68    while(gets(a)!=NULL)
69    {
70        //if(a=="end")
71
72        printf("%d\n",mytrie.search(a));
73    }
74    return 0;
75}
76

zzg 2009-03-15 11:48 发表评论