Posted on 2011-09-17 02:00
hoshelly 阅读(2398)
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C
辗转相除法，又名欧几里得算法，是求最大公约数的算法。
原理及其详细证明
设两数为a、b(b<a)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。
第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc
第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数
第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，(d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c】
从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。
证毕。
用C表示则：
int gcd(int a,int b)
{
int temp;
if(a<b)/*交换两个数，使大数放在a上*/
{
temp=a;
a=b;
b=temp;
}
while(b!=0)/*利用辗除法，直到b为0为止*/
{
temp=a%b;
a=b;
b=temp;
}
return a;
}