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数论(4)--------求解模线性方程

原语饿狼 — Sat, 05 Sep 2009 11:49:00 GMT

求解模线性方程 axºb(mod n)

1.必备知识：扩展欧几里得算法的知识，可查看我的数论(3)------扩展欧几里得算法

2.基本思路：

   设d=gcd(a,n)，用扩展欧几里得算法解线性方程 ax'+ny'=d.
     如果d|b,则方程axºb(mod n)有一个解的值x0=x'(b/d)mod n

   算法导论里说：（还没理解）
   方程axºb(mod n)有解（即存在d|b,其中d=gcd(a,n)),x0是该方程的任意一个解，则该方程对模n恰有d个不同的
   解，分别为 x(i)=x(0)+i(n/d)(i=1,2,...d).
   特别的设e=x0+n，方程ax=b(mod n)的最小整数解x1=e mod (n/d),最大整数解x2=x1+(d-1)*(n/d)。

   所以实际上用欧几里得算法记得x'就可以知道结果了。

3.源代码模板

1//扩展欧几里得算法
2int Extended_Euclid(int a,int b,int& x,int &y)
3{
4    if(b==0){
5        x=1;
6        y=0;
7        return a;
8    }
9    int d=Extended_Euclid(b,a%b,x,y);
10    int temp=x;x=y;y=temp-a/b*y;
11    return d;
12}

1//用扩展欧几里得解模线性方程ax=b (mod n)
2bool modularLinearEquation(int a,int b,int n)
3{
4    int x,y,x0,i;
5    int d=Extended_Euclid(a,n,x,y);
6    if(b%d)
7           return false;
8        x0=x*(b/d)%n;
9    for(i=1;i<=d;i++)
10       printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);
11    return true;
12}
13

原语饿狼 2009-09-05 19:49 发表评论

数论(3)-------欧拉phi函数

原语饿狼 — Sat, 05 Sep 2009 10:51:00 GMT

欧拉phi函数

1.应用：
对一个正整数n,求小于n且与n互质（包括1）的个数。

2.公式：


         I
Φ(n) =n ∏ (1 - 1 / pi)，其中pi表示n的质因子，
        i=1

    I
n = ∏ (Pi)^ki(I 为 n 的素因子的个数)
   i=1

如：Φ（10）=10（1-1/2)(1-1/5)=4,其中2,5是10的质因子.

3.证明：

   要证明这个式子，我们先来看几个基本的公式。

   （1）  Φ(p)=p-1,p是质数
   （2） Φ(p*q)=Φ(p)Φ(q) p,q是质数

         Φ(p*q)=p*q-1- (q-1)(注：【p,2p,...(q-1))】个数q-1） -(p-1)(注：【q,2q,...(p-1)q】个数p-1)
              =(p-1)(q-1)=Φ(p)Φ(q)

    (3) 对于整数n,n=p^k
               φ(n) = p^k - p^k-1
         小于 pk 的正整数个数为 pk - 1个，其中
         和 pk 不互质的正整数有{p * 1,p * 2,...,p * (p^k-1-1)} 共计 p^k-1- 1 个
         所以 φ(n) = p^k -1 ( p^k-1- 1) = p^k-p^k-1 。


     接下来要证明上面那个欧拉函数就是轻而易举的事情了。

            I
Φ(n) = Φ( ∏ (Pi)^ki₎
           i=1
          I
     = ∏[(Pi)^ki- (Pi)^ki-1 ]
      i=1
再除以n就可以求得Φ(n)了

4.源代码模板

1int phi(int n)
2{
3    int ans,i,k;
4    if(n==1)
5        ans=0;
6
7    else{
8      ans=n;
9      k=1;
10      for(i=2;n!=1;i+=k){
11        if(n%i==0){
12            ans*=(i-1);ans/=i;
13            while(n%i==0) n/=i;
14            i=k;
15        }
16
17      }
18    }
19    return ans;
20}

原语饿狼 2009-09-05 18:51 发表评论

数论(2)-------扩展欧几里得算法

原语饿狼 — Sat, 05 Sep 2009 08:51:00 GMT

扩展欧几里得算法------求解线性方程ax+by=c

1.应用：
      线性方程ax+by=c ,已知a,b,c，求解x,y.

2.基本思路：

      ax+by=c有解 => c=k*gcd(a,b)=kd（因为d=gcd(a,b)=>d|(ax+by))

      我们先考虑求解 ax+by=d
        由欧几里得算法,d=bx'+(a mod b)y'=bx'+(a-[a/b]b)y'=ay'+b(x'-[a/b])y'
        则由上述两式子，我们可以得出 x=y' ,y=x'-[a/b]y'
        这样子，在欧几里得算法添加x,y变量，最后得到解。（可结合下面代码源代码进行理解）

      接下来我们来看看ax'+by'=d和ax+by=c之间的关系

        （c/d)ax'+(c/d)by'=(c/d)d 即可以得到 x=(c/d)x',y=(c/d)y'

         所以可以得到ax+by的一组解
         那么ax+by=c所有解的形式是什么呢？
             a(x+qb)+b(y-qa)=c; q为任意整数
(注意，当要求y-qa的最小正整数min时,由y-qa>=0， q取[y/a]最小，min=y-[y/a]y,但是,[y/a]可能为0，如果y是负数，min此时也为负数，不好，此时令min+=a就可以取得最小正整数值了（[y/a]=0所以|y|
3.源代码模板

1int Extended_Euclid(int a,int b,int& x,int &y)
2{
3    if(b==0){
4        x=1;
5        y=0;
6        return a;
7    }
8    int d=Extended_Euclid(b,a%b,x,y);
9    int temp=x;x=y;y=temp-a/b*y;
10    return d;
11}
12//用扩展欧几里得算法解线性方程ax+by=c;
13bool linearEquation(int a,int b,int c,int& x,int &y)
14{
15    int d=Extended_Euclid(a,b,x,y);
16    if(c%d) return false;
17
18    int k=c/d;
19    x*=k;y*=k;//求的只是其中一个解
20    return true;
21}

四.学习心得
扩展欧几里得算法的妙用，值得好好体会，对整个过程自己可以找个例子好好印证一下，肯定印象深刻。去Google一下POJ上的这方面的题目好好实践一下吧！！！

原语饿狼 2009-09-05 16:51 发表评论

数论(1)-----欧几里得算法

原语饿狼 — Sat, 05 Sep 2009 07:48:00 GMT

一. 欧几里得算法------求最大公约数

1.公式：
     gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)    (a为非负整数，b为正整数)

2.证明：
      思路：
           两个整数a和b，如果a|b&&b|a（即a,b能互相整除），那么a=b.

      基础知识准备：
           A. (a mod b)=a-qb , q=(int)a/b;
           B. d|a&&d|b => d|(xa+yb) x,y为任意整数
           C. d|a&&d|b => d|gcd(a,b)

      过程：（1）证：gcd(a,b)|gcd(b,a mod b)

                  设d=gcd(a,b)=>d|a&&d|b,
                  由A和B知道，d|a&&d|b=>d|(xa+yb)=>d|(a mod b)
                  由C知道，d|b&&d|(a mod b)=>d|gcd(b,a mod b)=>gcd(a,b)|gcd(b,a mod b);

            (2) 证：gcd(b,a mod b)|gcd(a,b)

                  设d=gcd(b,a mod b)=>d|b&&d|(a mod b),
                  由A和B知道, d|b&&d|(a mod b)=>d|(xb+y(a mod b)=>d|a(由A，a=qb+(a mod b))
                  由C知道，d|a&&d|b=>d|gcd(a,b)=>gcd(b,a mod b)|gcd(a,b)

             由（1）和（2），可以知道我们得证了。

3.程序模板：

//递归版本
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

//循环版本
int gcd1(int a,int b)
{
  for(int c=a%b;c;a=b,b=c,c=a%b);
  return b;
}

4.学习心得

    欧几里得算法是之后很多数论算法的基础，了解它的原理是很有必要的。
    自己要举几个例子来熟悉一下算法的执行过程中的每一步骤，这样才能记忆深刻。
    上述的基础知识也是很有用的，平时注意积累。不懂的地方就几个实例看一下。

原语饿狼 2009-09-05 15:48 发表评论