Catanlan数

wyh — Sat, 30 Jul 2011 15:32:00 GMT

这两天，做了四五道关于卡塔兰数的问题，觉得应该总结一下吧。

关于卡塔兰数的一些介绍：http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/07/122573.html

1）卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数例。由比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰（1814-1894）命名。
2）卡塔兰数是由递推公式而来，其递推公式如下：
    　h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2);
　　还可以化简为1阶递推关系: 如h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)(n>1) h(0)=1
　　通项式是：h(n)= C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)1!) (n=1,2,3,...) 　
3）最近做的题目，应用到卡塔兰数主要的有：
          1、n个点组成二叉树的种类
          2、一个栈的进出栈的方案总数
          3、一个圆内2*n个点两两连线且不相互交叉的方案数
          4、正n边形用对角线割分成三角形的方案数
          5、P=a1*a2*......*an加括号的不同方案数
          6、2n个物品分成a,b两种，且a个数小于b的方案数。
          .................

   *这些只是我最近所见到的，但是还有更多的类型等着去发现，最最重要的是能够根据题目的描述得到递推式，再由递推式得到有关卡塔兰数的规律。

4）题目：poj 2084 HDOJ 1134 HDOJ 1131 HDOJ 1130

.....
这里面最重要的还是有关高精度的处理，附上MIYU的模版一份

1#include <iostream>
2#include <cstdio>
3#include <algorithm>
4#include <cstring>
5
6using namespace std;
7#define MAX 105
8#define BASE 10000
9typedef int myType[MAX+10];
10void multiply ( int a[], int Max, int b )  //大数乘小数
11{   int i,array=0;
12    for (i=Max-1; i>=0; i--)
13    {
14        array+=b*a[i];
15        a[i] = array%BASE;
16        array /= BASE;
17    }
18}
19void divide ( int a[], int Max, int b )  //大数除小数
20{
21    int i,div=0;
22    for (i=0;i<Max; i++)
23    {
24        div = div*BASE + a[i];
25        a[i] = div / b;
26        div %= b;
27    }
28}
29void outPut ( myType ctl[MAX] ,int N )
30{
31     int i = 0;
32     while ( i < MAX && ctl[N][i] == 0 )
33     {
34             i ++ ; //去前导0
35     }
36     cout << ctl[N][i++];
37     while ( i < MAX )
38     {
39
40             printf ( "%04d", ctl[N][i++] );
41     }
42     cout << endl;
43}
44void setNum ( myType ctl[MAX] )
45{
46     memset ( ctl[1], 0, MAX * sizeof ( int ) );
47     ctl[1][MAX-1] = 1;
48     for ( int i = 2; i < 101; i ++ )
49     {
50         memcpy ( ctl[i], ctl[i-1], MAX * sizeof ( int ) );
51         multiply ( ctl[i], MAX, 4 * i - 2 );
52         divide ( ctl[i], MAX, i + 1 );
53     }
54}
55myType ctl[MAX];
56int main()
57{
58    setNum ( ctl );
59    int N;
60    while ( cin >> N )     // 这里根据各题要求需要做相应变化
61    { outPut ( ctl, N ); }
62    return 0;
63}
64

wyh 2011-07-30 23:32 发表评论

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