Dynamic Programming 2: Numbers

WillCao — Fri, 25 May 2012 04:06:00 GMT

1. 找出一个数组中，最大的一段连续的数的和。Find out the subarray which has the largest sum.
例如：[1, -3, 2, -4 , 5 , 6, -2, 6, 7] 最大的和就是 22 = 5 + 6 - 2 + 6 +7.
解法如下：

int subMax(int [] a)
{
    int best = 0;
    int sum = 0;
    for(int i = 0; i < a.length; i++)
    {
         sum = sum + a[i];
         if(sum < 0 )
             sum = 0;
         else if(sum > best)
             best = sum;
    }
    return best;
}

想法就是一直加接下来的数，如果小于零就变为0，大于最大的数就更新。其中一点就是，如果遇到负数，如果和不小于零就不用使sum为零。如果数组全部为负数，上面的代码有点问题，但不改了。如果想知道这个最大的和的序列是什么，只要稍微改变就可以了，不说了。

2. Ugly Number: 找出第n个能被2，3，5整除的数
例如：2, 3, 4, 5, 6, 9,10, 12, 15, 20, 25 ... 第3个是4，第4个是5，第5个是6 ... 第200是？
想法：首先是从 1开始，2，3，5分别乘1，最小的是2，接下来就是2，2的位置进1，3和5的位置不变再来一次，最小的是3，3的位置进1，2和5位置进1，再来一次，最小的是4，3和5的位置不变。。。

int uglyNum( int n)
{
   int a = new int[n+1]
   a[0] = 1;
   int i2 = 0, i3 = 0, i5 = 0;
   int n2 = 0; n3 = 0; n5 = 0;
   int m = 0;
   for(int i = 0; i <= n; i++)
   {
      n2 = a[i2] * 2;
      n3 = a[i3] * 3;
      n5 = a[i5] * 5;
      m = min(n2, n3, n5);
      if(m == n2)
      {
         a[i] = m;
         i2++;
      }
      //similar for i3 and i5
   }
   return a[n];
}

3. 最后一个问题：给 i, j 两个数，然后打印出 2^i ，5^j 的序列
例如： i = 3 j =4 就打印出：
2^0 * 5 ^0 = 1
2^1 * 5^0 = 2
2^2 * 5 ^0 = 4
2^0 * 5^1 = 5
2^3 * 5^0 = 8
2^1 * 5^1 = 10
...
解法：和上面一个解法很相似，不过注意要处理相等的情况，比如2 * 2^1 * 5 ^1 = 20 2^2 * 5^0 ^5 = 20, 代码就不写了。

WillCao 2012-05-25 12:06 发表评论

Dynamic Programming 1: Strings

WillCao — Wed, 23 May 2012 14:03:00 GMT

什么是DP? 简单地来说就是把一个问题分解成两个或者多个小问题。然后先把小的问题解出来，最后利用已经得到的答案，把大的问题解决。
它和分而治之有点类似，但有所不同。DP所分解出来的小问题会相互依赖，因此就不知道从哪里分。而分而治之的小问题不相互依赖。先看
个小程序吧，生成第n个Fibnacci数，可能有人会这么写

int fib ( int n ) {
  if ( n == 0 )
     return 1;
  if ( n == 1 )
     return 1;
  return fib ( n - 1 ) + fib ( n - 2 );
}

但这个函数是2^n的递归，所以很快堆栈就会被用完的。另外如果思考一下，你会发现 fib( n - 1 ) 也已经要用到fib ( n - 2 ), 可是在
算fib ( n ) 的时候，这个值又要算一遍，那为什么不把这个值存下来呢？
好, 我们就换个DP的方式：

int fib ( int n ) {
   if ( n == 0 || n == 1 )
      return 1;
   int [] f = new int[ n ];
   f[ 0 ] = 1;
   f[ 1 ] = 1;
   for( int i = 2; i < n; i++)
   {
        f[ i ] = f[ i-1 ] + f[ i-2 ];
   }
   return f[ n-1 ];
}

可能这个比较容易了。大家都明白，就是先把以前的值给算好，然后后面的计算就可以利用前面的值。嗯，那稍微换个难点的吧。给一个n*n的0,1 matrix，然后找到最大的全是1的submatrix的大小。比如：
00011
01111
11110
01110
这个最大的那个全是1的submatrix的大小就是3.看起来挺难，其实蛮容易的。
我们先用最平常的思路来解一下吧。
先初始化另外一个同样大小的n*n的matrix
第一行和第一列很容易，和原先一样的值
00011
0
0
1
0
接下来，算第二行，和其他的行。自己动手，你就知道其实就是
s[i][j] = min(s[i][j-1],s[i-1][j],s[i-1][j-1]) + 1
我们顺便还可以加上一个max,记录最大的值。
这样这个就搞定了。DP介绍完毕。接下来开始关于String的DP

1.找到两个字符串的最大相同字串的长度
例如：abaabb aabbaa 最大的相同字串aabb长度就是4.
解法：给两个串 p,q 我们有
c(i,j) = 0 if p[i] != q[j]
c(i,j) = c(i-1,j-1) + 1 if p[i] = q[j].
代码和上面submatrix很相似。先初始化边缘，然后算出其他的值
2.找到两个字符串的最大subsequence的长度
例如：acbbab abbca 最大的subsequence is abba 长度是4.
解法：给两个串 p,q 我们有
c(i,j) = max(c(i-1,j),c(i,j-1)) if p[i] != q[j]
c(i,j) = c(i-1,j-1) + 1 if p[i] = q[j]
3.找到一个字符串最大的Palindrom
例如: abcdedcbdsa 最大的Palindrom就是bcdedcb 长度是7
解法：给一个串p
c(i,j) = max(c(i+1,j),c(i,j-1)) if p[i] != q[j]
c(i,j) = c(i+1,j-1) + 2 if p[i] = q[j]

WillCao 2012-05-23 22:03 发表评论

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