哈密顿在数学上的主要贡献是发现了“四元数”。他首先把复数x+yi作为实数的有序偶（x，g）来研究，并规定了它们的运算法则。这样，i在复数运算中就有了明确的意义。在此基础上，他试图建立三维的“复数”，经反复努力未能成功i最终导致他考虑具有四个分量的新数（1843）。他把形如t十Xi十yj十2k的数叫“四元数”。

19世纪早期，人们认为在数学领域里不存在与一般算术代数不同的代数。但是年轻的数学家哈密顿却独树一帜，设想建立超复数系，定义这样两个有序实数四元数组（a,b,c,d),(e,f,g,h)为相等的，当且仅当a=e,b=f,c=g,d=h.又用记号l,i,j,k分别表示（1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1).但是如何规定其运算法则呢？如果按照普通代数的四则运算法则进行，政府就难以建立起来。如果独辟蹊径，又该从何下手呢？哈密尔顿发现将四无数组的加法和乘法的定义如下：
　　(a,b,c,d)+(e,f,g,h)=(a+e,b+f,c+g,d+h);
　　(a,b,c,d)*(e,f,g,h)=(ae-bf-cg-dh,af+be+ch-dg,ag+ce+df-bh,ah+bg+de-cf);
　　m(a,b,c,d)=(a,b,c,d)m=(ma,mb,mc,md)(m为常数）

三维空间向量及其内积、外积之成为数学物理的工具，大约从19世纪80年代初期开始，在此之前被普遍使用的，则是由 Hamilton 所创造的「四元数」。由于复数在平面上几何及物理的有效应用，促使人们探索一种三维「复数」的工具。 1843年 Hamilton 创造了形如 的所谓四元数，其中 a₀,a₁,a₂,a₃ 为实数，i,j,k 则扮演相当于复数中 i 的角色。两个四元数 与 的和，定义为

至于乘积则由

i² = j² = k² = -1

与

及分配律来定义，也就是说

我们可以验证，加、减、乘、除四则运算对于四元数系照样可行，就像在复数系中一般，只除了乘法交换律并不满足。可除性较不明显，但却是相当重要的。若 ，定义 为其共轭数，则 与 =a₀²+a₁²+a₂²+a₃² 皆为实数。令 而称之为 a 之范数(绝对值)。显然，若 ，则， 为 a 之倒数。

我们若仔细观察四元数的乘积定义，不难发现向量的内积、外积隐含其中。若 a=a₀+a₁i+a₂j+a₃k，我们称 为 a 之纯量部分(实数部分)， u=a₁i+a₂j+a₃k 为 a 之向量部分(虚数部分)，当 , ，则 ， 为一纯量，, 为向量，然而 uv 是甚么？

由乘积定义可知 uv =(a₁i+a₂j+a₃k)(b₁i+b₂j+b₃k=-(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)+[(a₂b₃-a₃b₂)i+(a₃b₁-a₁b₃)j+(a₁b₂-a₂b₁)k]，正是 ，因此 清楚地描述四元数的乘法。

因为乘法交换性的缺乏，使得四元数的运算显得繁而难，以至于向量的内积、外积引进后，四元数就被人淡忘了。然而，四元数的可除性，却是内积、外积所不及的，譬如说，例 5 的解答，虽简短却不容易。然而，就四元数的观点而言，这个问题只不过是一元一次方程式 而已，我们可以立刻解得 。

“嗨，欢迎光临！”迎接你的是微软公司董事长比尔·盖茨热情洋溢的问候。在这座临水别墅独自一人潜居四天之后，他似乎很高兴看到有人来访。这周是盖茨例行“闭关修炼”的时间，这七天里他远离尘嚣，凝神思考科技业的未来，然后把所思所想传遍整个微软帝国。

这个每年两次的仪式意义非凡，不但会影响微软的前景，也能勾画整个科技业的未来。为期一周的潜心修炼能为科技行业找出几个新领域，为微软开拓几个上百万人的新市场点亮一盏明灯。1995年那周，盖茨写出了享誉全球的论文──《互联网浪潮》(The Internet Tidal Wave)，带领微软开发出了最终击败网景的互联网浏览器。微软Tablet PC、种种更安全的软件、开创网络游戏业务等等构想都是在盖茨“闭关”这一周勾勒成形的。

盖茨的“闭关周”在电脑行业闻名遐迩，但这期间发生了什么却是微软公司的绝密档案。开始闭关数年后，盖茨终于同意在隐居之地破天荒招待一名记者，但前提是不能泄露具体地点。

盖茨往往乘坐一架直升机，或者水上飞机抵达这里。这是一座看似普通的两层结构的小木屋，临水而建，四周宁静优雅，室内井然有序，一间不大的卧室供盖茨起居之用。整整一周，他闭门谢客，不论是家人还是微软同事概莫能入。只有一个门房每天给他送两次饭。

早上醒来后，一般他并不下床，而是呆在床上浏览微软工程师、高级管理人员和产品经理们的各色报告，在报告封面上草草写些摘要。他常常不吃早餐，穿上袜子就急匆匆上楼继续审阅报告。只有午餐和晚餐的时候他才下楼，在餐桌旁一边看报纸一边吃饭。从餐桌边看出去，奥林匹克山跃然入目。周四的午餐是烤芝士三文治配蛤蜊浓汤。盖茨说，他这一周常喝节食橙汁。

这是闭关周的第四天，盖茨已经读了56份报告，有几天曾连续工作18个小时。他的最高纪录是一周阅读了112份报告。“不知道这次能不能打破纪录，但我至少能看100份，”他说。那堆还没读的报告中，有一份赫然写著《震动微软的10个疯狂念头》(10 Crazy Ideas to Shake Up Microsoft)。

这周看到了什么有趣的内容吗？“说实在的，我们还是快点上楼，到那儿再看吧，我大部分的时间都是在那儿过的。”他一边说，一边起身，一步两个台阶地上了楼，这儿是他的书房。

正对著窗户的是一张书桌，从这里正好可以欣赏窗外的水景。桌上摆著两台戴尔(Dell)显示器。书桌旁边立著一个书柜，里面是整套《文学经典》系列。墙上挂著一幅法国大文豪雨果的肖像。盖茨指著旁边一个小冰箱和卫生间解释道，这是最近这几年添置的。冰箱里摆满了节食橙汁和健怡可乐，为的是不用下楼可以阅读更多文件。浅黄色封面的报告摊了一地，上面都盖著“微软机密”的印章。

盖茨两手墨迹斑斑，迅速翻动著桌上一份厚厚62页的报告──《虚拟地球》，他在封面上写了几句评语。报告畅想了地图服务业的未来，向客户传送旅行目的地的实时图像，以及交通状况和其他有关信息。其中有些想法盖茨后来说“太超前了”，但他写在封面上准备返回给报告人的评语却很鼓舞人心：“我喜欢这个主意。”

盖茨在显示器前坐了下来，电脑屏幕上展示著他这周要看的大约300份报告，都输入了数据库。主题五花八门：互联网游戏的发展、硬盘容量、微处理器时钟速度优势渐失,还有数码照相趋势、2005年电脑计算发展趋势、语言处理软件优化方法等等。

“有一份关于电脑安全的报告，的确是个突破，”盖茨说著，身体前倾，用鼠标点开了一份题为《我们能否扫除互联网蠕虫？》的报告。这是微软在英格兰某个研究小组提交的报告。在“软件安全”──微软最严峻的难题──类目下一共31份报告，是所有类别中最多的。这份关于蠕虫的报告描述了一种新方法，微软或许能够以此制止这种最近给互联网带来极大损害的病毒代码。

闭关一周中的阅读和思考会让盖茨发出难以计数的电子邮件和评语。看完一份报告引发的思考可能会通过一封电子邮件传达给微软全球各地的数十名微软员工。员工们满怀期待地静候这一周，希望他们提议的项目能得到盖茨的批准，或者对公司的发展方向施加影响。“这可是全世界最棒的意见箱，”微软MapPoint集团的总经理史蒂芬·劳勒(Stephen Lawler)说。

周三晚上一直工作到凌晨，盖茨已经把他对这份蠕虫报告的想法传遍了微软在世界各地的许多员工。在一封写给微软高级管理层的电子邮件中，他深思熟虑地说，这个办法太完美了，令人难以置信，恐怕会有漏洞。但如果没有，他言之凿凿地说，“我们就要实施。”周四一大早，他就收到了远在英格兰剑桥的研究团队发回的邮件。

从80年代开始，盖茨就定期找机会静修一周，起初是为了安安静静不受打扰地陪伴祖母一周，同时读读书，构想一下微软的发展战略。后来，这一周阅读内容从厚厚几摞报告逐渐演变成一个庞大的电脑文库，每一份都留出盖茨加评语的地方，以及和其他相关文件链接的地址。每一份文件都有打印稿。

盖茨今年2月份“闭关”的前两个月，他的技术助理亚历克斯·古纳里斯就从微软各处收集报告，从中遴选出他认为值得一看的报告供盖茨审阅。微软内部各个部门任何级别的员工都可以提交报告，把自己的想法告诉盖茨。

有些报告申请更多资金更多人手，但大多数报告都专门讨论某种技术发展趋势和发展状况。盖茨说，后一种读起来“更让人放松”。“他们很少会说，‘我们已经走投无路，在给我1亿美元，我们就能走出困境。'”

这一周实际上从周一开始算起，但他已经在这之前的周末就开始审阅报告了。就这样他现在还在为第二天的进度担心。“我工作非常努力，甚至每天工作24小时，”但只看了几十份报告。他看完的报告中，有一份题为《Xenon之书》，详细讨论了微软下一代游戏机Xenon的开发计划，以及微软未来20年游戏机业务的发展战略，整整120页厚。

盖茨很快继续前进，开始读80页厚的《微软教育产品战略》，展望微软在教育市场的未来。他从网上联络这份报告的作者，许诺要根据报告中的建议“做出一些进展”。报告作者之一后来透露，盖茨当时还说如果项目资金枯竭不啻是一场“灾难”。盖茨说，他已经给微软首席执行长史蒂夫·巴尔默发了电子邮件，让他好好看看这份报告。

盖茨说，周二晚上他一直工作到午夜，不免觉得头昏脑胀。当时他正在看一份题为《演讲合成》的报告，就开始声情并茂地大声读出报告中的词汇，比如“愤怒”、“无聊”、“有趣”等。“那已经是凌晨两点了，我开始有点犯傻了，”盖茨说。

作为休息，盖茨会玩上5分钟每日网络桥牌游戏。周三，他从抵达后第一次穿上鞋，走出小屋，到湖边散布了半小时。“我只不过到外面走走，实际上在想网络视频，”他说。

周四傍晚，太阳渐渐落到湖的那一边，盖茨下决心睡前再看24份报告。“我睡得不错，所以今晚能工作到半夜两、三点。”他说。这样，到周末他就能看完100份报告，给上百人发了电子邮件，写完了闭关周报告交高级管理层研读。他还要给高层管理人员列一份阅读清单，包括软件安全和移动电话的威力不断增加等内容。

这一周凝神静思的结果会在微软内部掀起层层涟漪。MSN业务部门副总裁尤素福·迈赫迪说，有一次出差途中，他把盖茨闭关周的评语都打出来看，打了整整6英寸厚。微软Office软件部门的一个小组说，他们根据盖茨的建议调整了方向，是同某家公司合作还是乾脆把它收购了事。（他们不肯说最后到底选择了哪条路。）见到盖茨的评语后，一位小组成员很快出发到欧洲会晤潜在的合作伙伴。

在MapPoint部门，也就是提交了《虚拟地球》构想的那个部门，总经理劳勒召集了一次会议，根据盖茨的评语集思广益讨论进一步发展。盖茨给某些想法打上了“异想天开”的标签，但认可了这份报告的整体构想，寥寥数语传遍了整个微软，几个研究小组已经投入了研发工作。

盖茨的邮件点燃了克雷格·巴索罗梅的热情，正是他领导的团队提交了微软教育市场战略构想，得到盖茨的关注。作为部门总经理，他立即下令，组建了一个工作小组，把盖茨的建议落实到产品计划中去。他还在内部网站上张贴了盖茨的评语，征求部门员工对这个计划的意见和建议。他说，在盖茨闭关这一周之前，大家对这个项目能否启动“抱有希望，但不敢肯定。现在每个人都非常乐观。”

这一周后盖茨重返日常工作的轨道，紧接其后的几周他召开了一连串的会议，把他在闭关期间的种种想法传播到微软各处，其中两项与软件安全战略有关。上周他还同“虚拟地球”研发小组一起呆了两个小时，帮助他们规划下一步行动。

盖茨很清楚自己的评语会产生怎样的影响，所以从不轻易落笔。“如果我写：‘应该这么干’，各方面就会重新调整，工程师闻风而动，”他说，“这可不像我说‘嗨，真棒，看起来不错’，这一句话就能让他们为某个项目再投入20个人。”