大海 2008-11-11 13:09 发表评论

按位的存储方式能提供最大的存储空间利用率，而随着空间被压缩的同时，由于CPU硬件的直接支持，速度竟然神奇般的提升了。举个例子，普通的数组要实现移位操作，那是O(n)的时间复杂度，而如果用位运算中的移位，就是一个指令搞定了。

KR算法之前第一章介绍中说是利用哈希，原文这么介绍的。而我的看法是，哈希只是一个幌子。这个算法的基本步骤同穷举法一样，不同在于每趟比较前先比较一下哈希值，hash值不同就不必比较了。而如果hash值无法高效计算，这样的改进甚至还不如不改进呢。你想想，比较之前还要先计算一遍hash值，有计算的功夫，直接比都比完了。

KR算法为了把挨个字符的比较转化为两个整数的比较，它把一个m长度的字符串直接当成一个整数来对待，以2为基数的整数。这样呢，在第一次算出这个整数后，以后每次移动窗口，只需要移去最高位，再加上最低位，就得出一个新的hash值。但是m太大，导致超出计算机所能处理的最大整数怎么办？不用担心，对整数最大值取模，借助模运算的特性，一切可以完美的进行。而且由于是对整数最大值取模，所以取模这一步都可以忽略掉。

这是KR算法的代码：

我们可以看到，KR算法有O(m)复杂度的预处理的过程，总感觉它的预处理没有反映出模式本身的特点来，导致它的搜索过程依然是O(mn)复杂度的，只不过一般情况下体现不出来，在"aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa"中搜"aaaaa"就知道KR多慢了。

总的来说，KR算法比穷举强一点，比较次数的期望值是O(m+n)。

为了最大限度的发挥出位运算的能力，Shift Or算法就有了一个最大缺陷：模式不能超过机器字长。按现在普遍的32位机，机器字长就是32，也就是只能用来匹配不大于32个字符的模式。而带来的好处就是匹配过程是O(n)时间复杂度的，达到自动机的速度了。而预处理所花费的时间与空间都为O(m+σ)，比自动机少多了。

我们来看看它怎么巧妙的实现“只看一遍”的：

假设我们有一个升级系统，总共有m个级别。每一关都会放一个新人到第0级上，然后对于系统中所有的人，如果通过考验，升一级，否则，咔嚓掉。而对于升到最高级的人，那说明他连续通过了m次考验，这就是我们要选拔的人。

KR算法的思路就是上面的升级规则，给出的考验就是你的位置上的字符与给出的文本字符是否一致。升满级了，说明在连续m个位置上与不断给出的文本字符一致，这也就是匹配成功了。

明白了这个思路后，疑问就开始出来了：检查哪些位置与文本字符一致，需要m次吧？那么整个算法就是O(mn)了？

现在就该位运算出场了，对，这个算法的思路是很笨，但是我位运算的效率高呀，事先我算出字母表中每个字符在模式中出现的位置，用位的方式存在整数里，出现的地方标为0，不出现的地方标为1，这样总共使用σ个整数；同样，我用一个整数来表示升级状态，某个级别有人就标为0，没人就标为1，整个系统升级就恰好可以用“移位”来进行，当检查位置的时候只需要与表示状态的整数“或”1次，所以整个算法就成O(n)了。Shift-Or算法名字就是这样来的。

有一个地方很奇怪，0和1的设定和通常的习惯相反呀，习惯上，喜欢把存在设为1，不存在设为0的。不过这里没有办法，因为移位新移出来的是0。

这时我们来看代码就容易理解多了：

原文中对Shift-Or算法的描述还是很难懂的，如果对着那段说明去看代码，有点不知所云的感觉。我还是直接对着代码才想出这个升级的比喻来。

大海 2008-11-11 13:08 发表评论

穷举法用在字符串匹配上，简单的描述就是，检查文本从0到n-m的每一个位置，看看从这个位置开始是否与模式匹配。这种方法还是有一些优点的，如：不需要预处理过程，需要的额外空间为常数，每一趟比较时可以以任意顺序进行。

尽管它的时间复杂度为O(mn)，例如在文本"aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa"中寻找"aaaaab"时，就完全体现出来了。但是算法的期望值却是2n，这表明该算法在实际应用中效率不低。

C代码如下：

如果我们注意到C库函数是汇编优化过的，并通常能提供比C代码更高的性能的话，我们可以用memcmp来完成每一趟比较过程，从而达到更好的性能：

自动机的方法其实和穷举法有点相似，都是用最简单直白的方式来做事情。区别在于穷举法是在计算，而自动机则是查表。尽管自动机的构造过程有一点点难解，要涉及到DFA的理论，但是自动机的比较过程那绝对是简单到无语。

简单说来，根据模式串，画好了一张大的表格，表格m+1行σ列，这里σ表示字母表的大小。表格每一行表示一种状态，状态数比模式长度多1。一开始的状态是0，也就是处在表格的第0行，这一行的每个元素指示了当遇到某字符时就跳转到另一个状态。每当跳转到最终状态时，表示找到了一个匹配。

语言表述起来还是比较啰嗦，看代码就知道了：

从代码上我们很容易看出，自动机的构造需要时间是O(mσ)，空间也是O(mσ)（严格来说这份代码使用了O((m+1)σ)），但是一旦构造完毕，接下来匹配的时间则是O(n)。

匹配的过程前面已经说了，太简单了没什么好说的，这里就解释一下构造过程吧！

我们构造的目标是对应模式长度，构造出同样多的状态，用0表示初始状态，然后第一个字符用状态1表示，第二个用状态2表示，依次类推，直到最后一个字符，用m表示，也是最终状态。

一开始，数组全都置0，，这个时候的自动机遇到任何字符都转到初始状态。然后给它看模式的第一个字符，假设这是'a'吧，告诉它，状态0遇到'a'应该到一个新的状态——状态1，所以把第0行的第'a'列修改为1。而这个时候状态1还是空白的，怎么办呢？

这时候状态0就想呀，在我被告知遇到'a'要去状态1之前，我原本遇到'a'都要去状态0的，也就是修改之前第'a'列所指的那个状态，称为old状态吧；而现在我遇到'a'却要去一个新的状态，既然以前old状态能处理遇到'a'之后的事情，那么我让新的状态像old状态一样就好了。于是状态0把old状态拷贝到状态1。

现在轮到状态1了，给它看第二个字符，它也如法炮制，指向了状态2，又把old状态拷贝给了状态2。

于是，状态机就在这种代代传承的过程中构造完毕了。

虽然理论上自动机是最完美的匹配方式，但是由于预处理的消耗过大，实践中，主要还是用于正则表达式。

结语：穷举法与自动机各自走了两个极端，因此都没能达到综合性能的最佳，本文之后介绍的算法，可以看成是在穷举和自动机两者之间取舍权衡的结果。

大海 2008-11-11 13:07 发表评论

字符串匹配指的是从文本中找出给定字符串（称为模式）的一个或所有出现的位置。本文的算法一律输出全部的匹配位置。模式串在代码中用x[m]来表示，文本用y[n]来，而所有字符串都构造自一个有限集的字母表Σ，其大小为σ。

根据先给出模式还是先给出文本，字符串匹配分为两类方法：

• 第一类方法基于自动机或者字符串的组合特点，其实现上，通常是对模式进行预处理；
  
• 第二类方法对文本建立索引，这也是现在搜索引擎采用的方法。

本文仅讨论第一类方法。

文中的匹配算法都是基于这样一种方式来进行的：设想一个长度为m的窗口，首先窗口的左端和文本的左端对齐，把窗口中的字符与模式字符进行比较，这称为一趟比较，当这一趟比较完全匹配或者出现失配时，将窗口向右移动。重复这个过程，直到窗口的右端到达了文本的右端。这种方法我们通常叫sliding window。

对于穷举法来说，找到所有匹配位置需要的时间为O(mn)，基于对穷举法改进的结果，我们按照每一趟比较时的比较顺序，把这些算法分为以下四种：

1. 从左到右：最自然的方式，也是我们的阅读顺序
2. 从右到左：通常在实践中能产生最好的算法
3. 特殊顺序：可以达到理论上的极限
4. 任意顺序：这些算法跟比较顺序没关系（例如：穷举法）

一些主要算法的简单介绍如下：

采用哈希，可以很容易在大部分情况下避免二次比较，通过合理的假设，这种算法是线性时间复杂度的。它最先由Harrison提出，而后由Karp和Rabin全面分析，称为KR算法。

在假设模式长度不大于机器字长时，Shift-Or算法是很高效的匹配算法，同时它可以很容易扩展到模糊匹配上。

MP是第一个线性时间算法，随后被改进为KMP，它的匹配方式很类似于自动机的识别过程，文本的每个字符与模式的每个字符比较不会超过logΦ(m+1)，这里Φ是黄金分隔比1.618，而随后发现的类似算法——Simon算法，使得文本的每个字符比较不超过1+log2m，这三种算法在最坏情况下都只要2n-1次比较。（抱歉限于我的水平这一段既没看懂也没能查证，大家就看个意思吧）

基于确定性有限自动机的算法对文本字符刚好只用n次访问，但是它需要额外的O(mσ)的空间。

一种叫Forward Dawg Matching的算法同样也只用n次访问，它使用了模式的后缀自动机。

Apostolico-Crochemore算法是一种简单算法，最坏情况下也只需要3n/2次比较。

还有一种不那么幼稚（Not So Naive）的算法，最坏情况下是n平方，但是预处理过程的时间和空间均为常数，而且平均情况下的性能非常接近线性。

BM算法被认为是通常应用中最有效率的算法了，它或者它的简化版本常用于文本编辑器中的搜索和替换功能，对于非周期性的模式而言，3n是这种算法的比较次数上界了，不过对于周期性模式，它最坏情况下需要n的二次方。

BM算法的一些变种避免了原算法的二次方问题，比较高效的有：Apostolico and Giancarlo算法、Turbo BM算法和Reverse Colussi算法。

实验的结果表明，Quick Search算法（BM的一个变种）以及基于后缀自动机的Reverse Factor和Turbo Reverse Factor算法算是实践中最有效的算法了。

Zhu and Takaoka算法和BR算法也是BM的变种，它们则需要O(σ2)的额外空间。

最先达到空间线性最优的是Galil-Seiferas和Two Way算法，它们把模式分为两部分，先从左到右搜索右边的部分，如果没有失配，再搜索左边的部分。

Colussi和Galil-Giancarlo算法将模式位置分为两个子集，先从左至右搜索第一个子集，如果没有失配，再搜索剩下的。Colussi算法作为KMP算法的改进，使得最坏情况下只需要3n/2次比较，而Galil-Giancarlo算法则通过改进Colussi算法的一个特殊情况，把最坏比较次数减少到了4n/3。

最佳失配和M最大位移算法分别根据模式的字符频率和首字位移，对模式位置进行排序。

Skip Search，KMP Skip Search和Alpha Skip Search算法运用“桶”的方法来决定模式的起始位置。

在接下来的章节中，我们会给出上面这些算法的实现。我们把字母表限定为ASCII码或者它的任意子集，编程语言用C，这就意味着数组索引是从0开始，而字符串以NULL结尾。

（第一章完。好像这些算法被挨个夸了个遍，反而不知道该选哪一种了，老外介绍别人的东西时就是这样，尽来虚的。）

大海 2008-11-11 13:05 发表评论