在GF(p)中求乘法逆元

Eleven — Tue, 06 Oct 2009 06:16:00 GMT

在看密码学的书时遇到的问题，求阶为p的有限域的乘法逆元。
GF(p)的概念就不讲了。乘法逆元么可以这样说，a关于m的乘法逆元就是使等式：a·b = 1 (mod m) ，成立的b。
开始我想要么就强搜，也用不了一次遍历。后来看了书上更简单的方法，运用的是辗转相除的思想，巧妙的进行方程的转化，过程是这样的。

1(A1, A2, A3) <- (1, 0, M); (B1, B2, B3)<-(0, 1, B)
2if B3 = 0 return A3 = gcd(m, b); no inverse
3if B3 = 1 return B3 = gcd(m, b); B2 = b` mod m
4Q = A3 / B3
5(T1, T2, T3) <- (A1-QB1, A2-QB2, A3-QB3)
6(A1, A2, A3) <- (B1, B2, B3)
7(B1, B2, B3) <- (T1, T2, T3)
8goto 2

其中A3和B3是gcd进行操作的主要参数。注意到求乘法逆元，那么m和b肯定互质。那么最后有gcd(m, b)=1，即B3=0，并且A3=1。因此在上一步有B3=1，那么：
mB1 + bB2 = B3
mB1 + bB2 =1
bB2 = 1 - mB1
bB2 = 1 (mod m)
所以此时的B2就为b的乘法逆元，全部过程利用辗转相除自然简化了不少。
推广一下可以求出b`，使bb` = k (mod m)，其中k为小余m的任意数。很简单，只要继续沿着此方法，算出bB2 = 1 (mod m)中的B2之后再乘以一个k (mod m)就是b`了。

Eleven 2009-10-06 14:16 发表评论

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