C++博客-WHy so serious?-随笔分类-Graphics

nurbs学习<3>

Eleven — Fri, 10 Jul 2009 16:43:00 GMT

关于控制点的权因子在opengl下的体现。准备画一条nurbs曲线的时候想到的，貌似在opengl的库函数里，无论是gluNurbsSurface还是gluNurbsCurve里面都没有看到关于权因子的参数啊，那么怎么画nurbs曲线呢？
开始注意的是函数中的最后一个type参数GL_MAP1_VERTEX_3和GL_MAP1_VERTEX_4，嗯，如果体现的话，应该是坐标的第四个参数，就是齐次坐标。关于齐次坐标，资料上也没有详细提它的用处，只简单的介绍了一下它与三维坐标的变换，就是三个坐标都除以齐次的那个坐标。
想想应该就是这样了，开始动手了。又遇到了一个问题，曲线根本不正确。因为用的是一个pp上的例子，参数应该没问题，然后就反复的查找原因，开始我想是不是权因子错了，但改了一下图形反而更不对了。google了一下，看了狠多例子后，发现是自己权因子的用错了，并不是简单的设置w参数的，要考虑到因此而改动的三维坐标，保持一致性。
那么修改后的坐标参数应该是(x*w, y*w, z*w, w)而不是简单的(x, y, z, w)。

Eleven 2009-07-11 00:43 发表评论

NURBS学习（2）

Eleven — Sun, 05 Jul 2009 04:42:00 GMT

NURBS曲线新增加的曲线控制手段权因子{ωi }。第一眼看上去的感觉是没有必要，调整控制点不就可以了吗。后来发现不是这样的，一个控制点和B-spline的基函数只能表示有限的曲线，并且曲线的走向收到基函数的控制比较大。那么加上权因子之后使得走向更灵活，而且可以表示Conic sections了。

Eleven 2009-07-05 12:42 发表评论

B-spline basis functions（转）

Eleven — Sun, 05 Jul 2009 04:10:00 GMT

这篇可能帮我们更好的理解B-spline。

The equation for k-order B-spline with n+1 control points (P₀ , P₁ , ... , P_n ) is
P(t) = ∑_i=0,n N_i,k(t) P_i , t_k-1 <= t <= t_n+1 .
In a B-spline each control point is associated with a basis function N_i,k which is given by the recurrence relations (see Bspline.java)
N_i,k(t) = N_i,k-1(t) (t - t_i)/(t_i+k-1 - t_i) + N_i+1,k-1(t) (t_i+k - t)/(t_i+k - t_i+1) ,
N_i,1 = {1 if t_i <= t <= t_i+1 , 0 otherwise }
N_i,k is a polynomial of order k (degree k-1) on each interval t_i < t < t_i+1. k must be at least 2 (linear) and can be not more, than n+1 (the number of control points). A knot vector (t₀ , t₁ , ... , t_n+k) must be specified. Across the knots basis functions are C^k-2 continuous.

Corresponding iterations scheme for cubic (k = 4) basis functions is shown in Fig.1 . You see, that for a given t value only k basis functions are non zero, therefore B-spline depends on k nearest control points at any point t.

B-spline basis functions as like as Bezier ones are nonnegative N_i,k >= 0 and have "partition of unity" property
∑_i=0,n N_i,k(t) = 1, t_k-1 < t < t_n+1
therefore
0 <= N_i,k <= 1.
As since N_i,k = 0 for t <= t_i or t >= t_i+k therefore a control point P_i influences the curve only for t_i < t < t_i+k.

Eleven 2009-07-05 12:10 发表评论

NURBS学习（1）

Eleven — Wed, 01 Jul 2009 14:36:00 GMT

要用opengl做一个模型，所以这两天一直在看曲线和曲面方面的图形学知识。
关于NURBS的曲线，opengl提供了一般的函数来使用。但如果不了解原理的话，使用起来还是比较困难的。这两天我就一直在艰涩的学习着。因为图形学的知识比较差，高数中的曲线函数学的又比较废，所以进展很慢。
但今天总算对B-样条和贝兹曲线有了些理解。
它们两个可以说是NURBS的基础和前提吧。
关于Bézier curve，理解起来比较容易。wiki上的解释比较形象，http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%B2%9D%E8%8C%B2%E6%9B%B2%E7%B7%9A&variant=zh-cn。在此就不过多阐述了。
B-样条可以说缠了我很长时间，起初一直在节点向量和具体的图形之间纠结。而且大多数网上的讲解都是以公式为基础的。我本来就是想快速的形象的理解下的，对公式又比较厌烦，所以看了一天没有明白之后决定从公式看起来。现在感觉是有点小理解了。
关于B-样条，我想主要是这两个东西：控制点和B样条基。可以说曲线的形状就是由它而来的。

由这个公式可以看出来，P_i称为控制点。看过Bézier curve的话对控制点应该有些了解，其实它控制了曲线的一个大致的走向，但曲线的细节部分，比如曲率啊这些还要更仔细的控制，这就要用到B样条基。还是引用下wiki，http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=B-%E6%A0%B7%E6%9D%A1&variant=zh-cn。
但想说的就是节点向量这东西。它控制了B样条基的值，间接地决定的曲线的走向。但硬要形象找出两者的联系还是比较困难的。
可以说B样条基决定了控制点的比重，所以Bézier curve是B样条的一个特例。
下面是学习过程中参考的文档，推荐下：http://www.rw-designer.com/NURBS，http://ibiblio.org/e-notes/Splines/Intro.htm。

Eleven 2009-07-01 22:36 发表评论