Firth.首先我们要熟悉顶函数和底函数，最好的方式就是了解他们的图形。

由于数学符号在这里不好写出来，我们用floor来表示底，celing表示顶。

图形其实就是以f（x） = x 为分界线，这边就不画出来了。向下取整组成的坐标点就是（x, floor(x)）

这些刚好就是在f（x） = x下方的，而向上取整则是在上方的。

Tips：

所以从图像中我们可以发现一下两个等式（位移、奇函数）

1.x – 1 < floor(x) <= x <= celing(x) < x + 1 (可以通过位移图像来得出该不等式)

2.floor(-x) = – celing(x) 或者 celing(-x) = – floor(x) （这个其实可以简单记为奇函数）

Second.两条法则（你要细分成4条我也不反对）

1.floor(x) = n 等价于 n <= x < n + 1 等价于 x – 1 < n <= x

2.celing(x) = n 等价于 n - 1 < x <= n 等价于 x <= n < x + 1

Tips：

1.其中n是整数，x是实数

2.floor（x + n） = floor（x） + n （因为有上面法则有 floor(x) + n <= x + n < floor(x) + n + 1）.

3.但floor(nx) != n*floor(x)

Third.实数和整数之间的关系，其实都等价于一个顶或底函数于整数的关系。

1.x < n 等价于 floor(x) < n

2.n < x 等价于 n < celing(x)

3.x <= n 等价于 celing(x) <= n

4.n <= x 等价于 n <= floor(x)

Tips

1.celing相当于扩大、floor相当于缩小

2.取到n，则看能取到最大或者最小，最大取celing、最小floor。

   不达n，则缩小或扩大x等式不变。

3.floor(x + y) 等于 floor(x) + floor(y) 或者是 floor(x) + floor(y) + 1

   x = floor(x) + {x}, y = floor(y) + {y},then

   x + y = floor(x) + floor(y) + {x} + {y},then

   floor(x + y) = floor(x) + floor(y) + floor( {x} + {y})

   and because  0<={x} < 1 and so do {y},so

  0<={x} + {y} <2,so floor({x} + {y}) = 0 or 1

应用：

   在程序中应用之前，我先说下一个等式的证明

   celing（n / m） = floor( (n + m – 1) / m)

   这里n 、m都是整数，而且m是正整数。

证明：

    因为celing(n /m) – floor(n /m) = celing（n / m – floor(n / m)）

    = celing(1/m * ( n – m*floor(n / m))) = celing((n mod m) / m)-------------(1)利用了上面两条法则中Tips的第二点

     同理可以得出floor((n + m –1) /m) = floor((n mod m + m – 1) / m)---------- (2)

   由(1)可以得到celing((n mod m )/ m) = 1

   由(2)可以得到floor((n mod m + m – 1) / m) = 1 (因为n mod m + m – 1 < 2 *m –1)

   所以可以一步步向上反推得到上面的公式。（其实这是一种分而自治的证明思想）

具体在程序中的应用例如：

当你要在C++中写如下代码时候，而且n 、m都是整数。

则celing(n * 1.0 / m) = floor( (n – 1) / m) + 1

由于C++中除运算就是向下取整，所以

celing(n * 1.0 / m) = (n - 1) / m + 1
那么什么地方用得到，比如你在做大数运算时侯，要进行，分组，要8位一组
然后算出一个可以分成几组。可以直接利用这个原理，而不用再其进行函数的
调用，比如你在阅读人家的代码时候、有时候就会这样写。

下次你碰到这种代码就会知道什么意思，和为什么能表示成这样了。