C++博客-purplest-随笔分类-数论

ZOJ 3707 Calculate Prime S

purplest — Wed, 24 Jul 2013 07:17:00 GMT

题意：定义了S[n]为{1,2,...,n}的非连续数字的子集的个数，然后对于每个S[n]，如果对于每个1<=i=第k个素的S。然后输出(S[n]/x)%m。

首先证明几个结论。

I. gcd(ab,c)=gcd(a,c) 当gcd(b,c)=1时。
证明：gcd(ab,c)=gcd(a,c)*gcd(b,c)=gcd(a,c)

II. gcd(a,b)=gcd(b, a%b)。
证明：假设a>=b，则a=nb+m。假设g|a，g|b，所以g|(nb+m)，所以g|m。因为a%b=(nb+m)%b=m，所以得证。

III. gcd(fib(i),fib(i+1))=1。
证明：因为fib(i+1)=fib(i)+fib(i-1)，
所以gcd(fib(i),fib(i+1))=gcd(fib(i),fib(i)+fib(i-1))=gcd(fib(i),(fib(i)+fib(i-1))%fib(i))=gcd(fib(i),gcd(fib-1))，
可以把euclid的过程给展开，得到：
fib(i+1)=1*fib(i)+fib(i-1)
fib(i)=1*fib(i-1)+fib(i-2)
fib(i-1)=1*fib(i-2)+fib(i-3)
......
fib(4)=1*fib(3)+fib(2)
fib(3)=2*fib(2)+0
最后一行写出来就是：
2 = 2*1+0
所以gcd(fib(i),fib(i+1))=fib(2)=1;
英文原文证明以及反证法参考：

Consecutive Fibonacci Numbers Relatively Prime

http://mathforum.org/library/drmath/view/52716.html

IV. fib(u+v)=fib(u)fib(v-1)+fib(u+1)fib(v).
证明：利用反证法。
当u=1时：fib(1+v)=fib(1)fib(v-1)+fib(2)fib(v)=fib(v-1)+fib(v) 成立。
假设u=n时成立：fib(n+v)=fib(n)fib(v-1)+fib(n+1)fib(v) 成立。
u=n+1时：
fib(n+1+v)=fib(n+v)+fib(n+v-1)=fib(n)fib(v-1)+fib(n+1)fib(v) + fib(n-1)fib(v-1)+fib(n)fib(v)
=fib(v-1)(fib(n)+fib(n-1)) + fib(v)(fib(n-1)+fib(n)) = fib(n+1)fib(v-1)+fib(n+2)fib(v) = fib(n+1+v)
所以，由数学归纳法可以得证。
英文原文证明以及Binet Formula证明参考：
http://mathforum.org/library/drmath/view/51624.html

V. fibonacci-gcd proof: gcd(fib(n),fib(m))=fib(gcd(n,m)).
证明：假设n<=m，则: gcd(fib(n),fib(m))=gcd(fib(n),fib(n+k))，由证明IV，可得：
gcd(fib(n),fib(n+k))=gcd(fib(n),fib(n)fib(k-1)+fib(n+1)fib(k))
=gcd(fib(n),(fib(n)fib(k-1)+fib(n+1)fib(k))%fbi(b))
=gcd(fib(n),fib(n+1)fib(k))，由证明III，gcd(fib(b),fib(n+1))=1，所以由证明I可得：
gcd(fib(n),fib(n+1)fib(k))=gcd(fib(n),fib(k))，所以可得：
gcd(fib(n),fib(m))=gcd(fib(n),fib(m%n))。由展开euclid算法可知，算法在gcd(fib(g),fib(0))时停止，而g=gcd(m,n)。
所以由euclid算法的定义可得gcd(fib(g),fib(0))=fib(g)。
所以得证gcd(fib(n),fib(m))=fib(gcd(n,m))
英文原文证明参考：
http://mathforum.org/library/drmath/view/61690.html

VI. (a/b)%c=(a%bc)/b 当 b|a。
证明：因为b|a，所以a=kb。
左边=(a/b)%c=(kb/b)%c=k%c。
右边=(kb%bc)/b=((k%c)b)/b=k%c。
所以得证。

VII. fibonacci的一个结论：

矩阵快速幂即可。

VIII. 又一个结论，因为x很小（x<=100），所以能在题目给定的时间内枚举到所需的S[n]。

至此，此题需要的证明已齐，只需要素数筛法预处理出所有的位数，然后再暴力枚举即可。

#include
#include
#include
#define LL long long
using namespace std;

const int N = 15486042;
int MOD;
int prime[1001000], top;
bool isnot[20010000];
int ncase;
int k, x, m;
LL now, next;

struct Matrix
{
    LL ma[2][2];
    Matrix()
    {
        ma[0][0]=ma[1][1]=1;
        ma[0][1]=ma[1][0]=0;
    }
    void init()
    {
        ma[0][0]=ma[1][0]=ma[0][1]=1;
        ma[1][1]=0;
    }
    Matrix operator * (const Matrix &a) const
    {
        Matrix res;
        for ( int i = 0 ; i < 2 ; i++ )
            for ( int j = 0 ; j < 2 ; j++ )
            {
                res.ma[i][j]=0;
                for ( int k = 0 ; k < 2 ; k++ )
                    res.ma[i][j]=(res.ma[i][j]+ma[i][k]*a.ma[k][j])%MOD;
                res.ma[i][j]%=MOD;
            }
        return res;
    }
};

void init_prime()
{
    memset(isnot,0,sizeof(isnot));
    top = 1;
    for ( int i = 2 ; i < N ; i++ )
        if (!isnot[i])
        {
            prime[top++]=i;
            if (i<10000)
                for ( int j = i+i ; j < N ; j+=i )
                    isnot[j]=1;
        }
    prime[1]=3;prime[2]=4;
}

void init(int k)
{
    Matrix res, a;
    a.init();
    while (k)
    {
        if (k&1)
            res = res*a;
        a=a*a;
        k>>=1;
    }
    next = (res.ma[0][0]+res.ma[1][0])%MOD;
    now = (res.ma[0][1]+res.ma[1][1])%MOD;
}

int main()
{
    init_prime();
    scanf("%d", &ncase);
    while (ncase--)
    {
        scanf("%d%d%d", &k, &x, &m);
        MOD = x*m;
        init(prime[k]);
        while (now%x)
        {
            swap(now,next);
            next = (now+next)%MOD;
        }
        printf("%lld\n", now/x);
    }
    return 0;
}

purplest 2013-07-24 15:17 发表评论

poj 1029 False coin

purplest — Mon, 03 Oct 2011 12:20:00 GMT

经典的从一堆真硬币中称出一个假硬币的题

#include <stdio.h>
#include <string.h>

bool flag[1010];
bool temp[1010];
int getnum[1010];
int dy[1010], xy[1010];
int n, m;

void init()
{
    memset(flag, 0, sizeof(flag));
    memset(dy, 0, sizeof(dy));
    memset(xy, 0, sizeof(xy));
}

int work()
{
    int cnt = 0, k;
    for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
    {
        if ( !flag[i] )
        {
            k = i;
            cnt++;
        }
        if ( cnt > 1 )
            return 0;
    }
    return k;
}

int main()
{
    while ( 2 == scanf("%d%d", &n, &m) )
    {
        init();
        while ( m-- )
        {
            int num, i;
            char ope;
            scanf("%d", &num);
            for ( i = 0 ; i < 2*num ; i++ )
                scanf("%d", getnum+i);
            scanf("%*c%c", &ope);
            if ( '=' == ope )
                for ( i = 0 ; i < 2*num ; i++ )
                    flag[getnum[i]]= 1;
            else if ( '>' == ope )
            {
                memset(temp, 0, sizeof(temp));
                for ( i = 0 ; i < num ; i++ )
                {
                    dy[getnum[i]]= 1;
                    temp[getnum[i]]= 1;
                }
                for ( ; i < 2*num ; i++ )
                {
                    xy[getnum[i]]= 1;
                    temp[getnum[i]]= 1;
                }
                for ( i = 1 ; i <= n ; i++ )
                {
                    if ( !temp[i] )
                        flag[i]= 1;
                }
            }
            else if ( '<' == ope )
            {
                memset(temp, 0, sizeof(temp));
                for ( i = 0 ; i < num ; i++ )
                {
                    xy[getnum[i]]= 1;
                    temp[getnum[i]]= 1;
                }
                for ( ; i < 2*num ; i++ )
                {
                    dy[getnum[i]]= 1;
                    temp[getnum[i]]= 1;
                }
                for ( i = 1 ; i <= n ; i++ )
                {
                    if ( !temp[i] )
                        flag[i]= 1;
                }
            }
        }
        for ( int i = 1 ; i <= n ; i++ )
        {
            if ( dy[i] && xy[i] )
                flag[i]= 1;
        }
        printf("%d\n", work());
    }
    return 0;
}

purplest 2011-10-03 20:20 发表评论

poj 1032 Parliament

purplest — Mon, 03 Oct 2011 12:18:00 GMT

这题是给定一个数，求把这个数分解成任意多个不相等的数，使这些数的积最大，感谢队友4页纸的推导~

#include <stdio.h>

int n;
int num[1010];

int main()
{
    while ( EOF != scanf("%d", &n) )
    {
        int i, k = 2;
        for ( i = 0 ; k <= n ; i++ )
        {
            num[i]= k;
            n-=k;
            k++;
        }
        for ( k = i-1 ; n ; k-- )
        {
            num[k]++;
            n--;
            if ( !k )
                k = i;
        }
        printf("%d", num[0]);
        for ( k = 1 ; k < i ; k++ )
            printf(" %d", num[k]);
        putchar(10);
    }
    return 0;
}

purplest 2011-10-03 20:18 发表评论

poj 2279 Mr. Young's Picture Permutations

purplest — Tue, 16 Aug 2011 16:37:00 GMT

果的钩子公式http://en.wikipedia.org/wiki/Young_tableau

黑书上也有的，最后在算的时候避免存不下，需要优化下。

#include <stdio.h>
#include <string.h>

int temp[20][50], up[50], down[50], num[20];
int n, m;

int gcd(int a, int b)
{
    return (b == 0) ? a : gcd(b, a%b);
}

int main()
{
    while ( scanf("%d", &m), m )
    {
        memset(temp, 0, sizeof(temp));
        int i, j, k, n= 0, len= 0;
        for ( i = 0 ; i < m ; i++ )
        {
            scanf("%d", num+i);
            n+=num[i];
            for ( j = 0 ; j < num[i] ; j++ )
                temp[i][j]=1;
        }
        for ( i = 0 ; i < 20; i++ )
            for ( j = 0 ; j < 50 && temp[i][j]; j++ )
            {
                int sum=-1;
                for ( k = i ; k < 20 ; k++ )
                    sum+=temp[k][j];
                for ( k = j ; k < 50 ; k++ )
                    sum+=temp[i][k];
                if ( 0 < sum ) down[len++]= sum;
            }
        for ( i = 0 ; i < n ; i++ ) up[i]= i+1;
        for ( i = 0 ; i < n ; i++ )
            for ( j = 0 ; j < n ; j++ )
            {
                k = gcd(up[i], down[j]);
                up[i]/=k;
                down[j]/=k;
            }
        __int64 ans= 1;
        for ( i = 0 ; i < n ; i++ )
            ans*=up[i];
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}

purplest 2011-08-17 00:37 发表评论

poj 1671 Rhyme Schemes

purplest — Sun, 14 Aug 2011 16:29:00 GMT

果的bell数，poj的G++编译器需要用%f输出double，%lf会WA

#include <stdio.h>

double num[110][110];
int n;

int main()
{
    while (scanf("%d", &n), n)
    {
        int i, j;
        double ans= 0;
        num[0][0]=1;
        for ( i = 1 ; i <= n; i++ )
        {
            num[i][0]=1;
            for ( j = 1 ; j < i ; j++ )
                num[i][j]=num[i-1][j-1]+ (j+1) * num[i-1][j];
            num[i][i]= 1;
        }
        for ( i = 0 ; i < n ; i++ )
            ans+=num[n-1][i];
        printf("%d %.0f\n", n, ans);
    }
    return 0;
}

purplest 2011-08-15 00:29 发表评论