龙贝格积分对于编程实现来说,一开始不太好懂.
对于不易直接用积分公式计算的原函数，通常用复合梯形求积公式或复合抛物线求积公式等方法，但这些方法精度不高，收敛的速度缓慢。为了提高收敛速度，减少计算量，人们寻求其他方法. Romberg方法也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。 作为一种外推算法, 它在不增加计算量的前提下提高了误差的精度.
在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程 。
推导和证明就免了,以下是一些对理解Romberg算法很关键的信息.
对区间[a， b]，令h=b-a构造梯形值序列{T2K}。
T1=h[f(a)+f(b)]/2 把区间二等分，每个小区间长度为 h/2=(b-a)/2，于是
T2 =T1/2+[h/22]f(a+h/2）
把区间四(22)等分，每个小区间长度为h/22 =（b-a）/4，于是
T4 =T2/2+[h/2][f（a+h/4）+f（a+3h/4).....................
把[a，b] 2k等分，分点xi=a+（b-a）/ 2k ·i （i =0，1，2 · · · 2k）每个小区间长度为（b-a）/ 2k ，由归纳法可得下图的第一个公式.
整个程序就是循着这四个公式进行计算的.
Sn,Cn, Rn 分别代表特例梯形积分,抛物线积分,龙贝格积分.当然,编程的时候统一处理即可.
应用中,算到Rn级别即可(7阶的精度), 精度再高则会与累计误差相冲突.
下面举一个例,代码运行一下：取e=0.0001,用龙贝格方法计算积分
I = ∫01 ( 4/1+X2) dx
解 按上述五步计算，此处 f(x)=4/(1+x2) a=0 b=1 f(0)=4 f(1)=2
由梯形公式得
T1=1/2[f(0)+f(1)]=3
计算f(1/2)=16/5 用变步长梯形公式得
T2=1/2[T1+f(1/2)]=3.1
由加速公式得
S1=1/3(4T2-T1)=3.133333333
求出f(1/4) f(3/4) 进而求得
T4=1/2{T2+1/2[f(1/4)+f(3/4)]}
=3.131176471
S2=1/3(4T4-T2)=3.141568628
C1=1/15(16S2-S1)=3.142117648
计算f(1/8) f(3/8) f(5/8) f(7/8)进而求得
T8=1/2{T4+1/4[f(1/8)+f(3/8)+f(5/8)+f(7/8)]}
=3.138988495
S4=1/3(4T3-T4)=3.141592503
C2=1/15(16S4-S2)=3.141594095
R1=1/63(64C2-C1)=3.141585784
把区间再二分，重复上述步骤算得
T16=3.140941613 S8=3.141592652
C4=3.141592662 R2=3.141592640
由于 |R1-R2|<=0.00001,计算可停止，取R2=3.14159
/**
Romberg积分
属性： 数值积分法
《数值计算方法与算法》-2 Editon -科学出版社 P60
《C#数值计算算法编程》-周长发 P320
http://www.cppblog.com/Files/pengkuny/romberg.rar
代码维护：2007.04.20 pengkuny
**/
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
#define f(x) (4.0/(1+x*x)) //举例函数
#define epsilon 0.0001 //精度
#define MAXREPT 10 //迭代次数,到最后仍达不到精度要求,则输出T(m=10).
double Romberg(double aa, double bb)
{ //aa,bb 积分上下限
int m, n;//m控制迭代次数, 而n控制复化梯形积分的分点数. n=2^m
double h, x;
double s, q;
double ep; //精度要求
double *y = new double[MAXREPT];//为节省空间,只需一维数组
//每次循环依次存储Romberg计算表的每行元素,以供计算下一行,算完后更新
double p;//p总是指示待计算元素的前一个元素(同一行)
//迭代初值
h = bb - aa;
y[0] = h*(f(aa) + f(bb))/2.0;
m = 1;
n = 1;
ep = epsilon + 1.0;
//迭代计算
while ((ep >= epsilon) && (m < MAXREPT))
{
//复化积分公式求T2n(Romberg计算表中的第一列),n初始为1,以后倍增
p = 0.0;
for (int i=0; i<n; i++)//求Hn
{
x = aa + (i+0.5)*h;
p = p + f(x);
}
p = (y[0] + h*p)/2.0;//求T2n = 1/2(Tn+Hn),用p指示
//求第m行元素,根据Romberg计算表本行的前一个元素(p指示),
//和上一行左上角元素(y[k-1]指示)求得.
s = 1.0;
for (int k=1; k<=m; k++)
{
s = 4.0*s;
q = (s*p - y[k-1])/(s - 1.0);
y[k-1] = p;
p = q;
}
p = fabs(q - y[m-1]);
m = m + 1;
y[m-1] = q;
n = n + n; h = h/2.0;
}
return (q);
}
int main()
{
double a,b;
cout<<"Romberg积分,请输入积分范围a,b:"<<endl;
cin>>a>>b;
cout<<"积分结果:"<<Romberg(a, b)<<endl;
system("pause");
return 0;
}
posted on 2007-04-20 15:33
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算法与数据结构