#include  < iostream >     
using   namespace  std; 

void  move( char  from,  char  to) 
{ 
    cout  <<  from  <<   "  to  "   <<  to  <<  endl; 
}  

void  hanoi ( int  n,  char  from,  char  to,  char  bridge) 
{ 
     if (n  ==   1 ) 
        move(from, to); 
     else  
     { 
        hanoi (n - 1 , from, bridge, to); 
        move(from ,bridge); 
        hanoi (n - 1 , bridge, from, to); 
    }  
}  

int  main() 
{ 
     int  n; 
     cout  <<   " input n:\n " ; 
     cin  >>  n; 
     hanoi (n,  ' A ' ,  ' C ' ,  ' B ' ); 
     return   0 ; 
}  

第二个是递归版本的：（没有用栈，因此还比较精妙）

对不起，由于一时疏忽，把两个版本的程序贴成同一个了，十分抱歉，谢谢您的提醒，现更正如下：

#include  < iostream >
using   namespace  std;

void  hanoi( int  n)
{
      int  i, j, f  =   1 ;
      int  a  =   1 , b  =  (n % 2 ) ?   3 : 2 ;
     cout  <<  f  <<   "  from  "   <<   char ( ' A '   -   1   +  a)  <<   "  to  "   
                << char('A' - 1 + b) << endl;
     for(n = (1<<n) - 1, i = 1; i < n; i += 2)
     {
           for(f = 1, j = i; j%2; j/=2, f++);
           if(f%2)
                  a ^= b;
           b ^= a;
           cout << f << " from " << char('A' - 1 + a) << " to "  
                      << char('A' - 1 + b) << endl;
           a ^= b;
           if(f%2)
                  b ^= a;
           cout << f << " from " << char('A' - 1 + a) << " to "  
                      << char('A' - 1 + b) << endl;
     }
}

int  main()
{
     int  n;
    cout  <<   " input n:  " ;
    cin  >>  n;
    hanoi(n);
     return   0 ;
}

				
日前在书上看到一段使用多项式逼近计算平方根的代码，至今都没搞明白作者是怎样推
算出那个公式的。但在尝试解决问题的过程中，学到了不少东西，于是便有了这篇心
得，写出来和大家共享。其中有错漏的地方，还请大家多多指教。

的确，正如许多人所说的那样，现在有有FPU，有3DNow，有SIMD，讨论软件算法好像不
合时宜。关于sqrt的话题其实早在2003年便已在 GameDev.net上得到了广泛的讨论（可
见我实在非常火星了，当然不排除还有其他尚在冥王星的人，嘿嘿）。而尝试探究该话
题则完全是出于本人的兴趣和好奇心（换句话说就是无知）。

我只是个beginner，所以这种大是大非的问题我也说不清楚（在GameDev.net上也有很多
类似的争论）。但无论如何，Carmack在DOOM3中还是使用了软件算法，而多知道一点数
学知识对3D编程来说也只有好处没坏处。3D图形编程其实就是数学，数学，还是数学。

文章原本是用HTML编排的，所以只截取了部分有比较有趣的东西放在这里。原文在我的
个人主页上，同时也提供了2篇论文的下载：http:
//greatsorcerer.go2.icpcn.com/info/fastsqrt.html

=========================================================

在3D图形编程中，经常要求平方根或平方根的倒数，例如：求向量的长度或将向量归一
化。C数学函数库中的sqrt具有理想的精度，但对于3D游戏程式来说速度太慢。我们希望
能够在保证足够的精度的同时，进一步提高速度。

Carmack在QUAKE3中使用了下面的算法，它第一次在公众场合出现的时候，几乎震住了所
有的人。据说该算法其实并不是Carmack发明的，它真正的作者是Nvidia的Gary Tarolli
（未经证实）。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
//
// 计算参数x的平方根的倒数
//
float InvSqrt (float x)
{
float xhalf = 0.5f*x;
int i = *(int*)&x;
i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 计算第一个近似根
x = *(float*)&i;
x = x*(1.5f - xhalf*x*x); // 牛顿迭代法
return x;
}
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
该算法的本质其实就是牛顿迭代法（Newton-Raphson Method，简称NR），而NR的基础则
是泰勒级数（Taylor Series）。NR是一种求方程的近似根的方法。首先要估计一个与方
程的根比较靠近的数值，然后根据公式推算下一个更加近似的数值，不断重复直到可以
获得满意的精度。其公式如下：
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
函数：y=f(x)
其一阶导数为：y'=f'(x)
则方程：f(x)=0 的第n+1个近似根为
x[n+1] = x[n] - f(x[n]) / f'(x[n])
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
NR最关键的地方在于估计第一个近似根。如果该近似根与真根足够靠近的话，那么只需
要少数几次迭代，就可以得到满意的解。

现在回过头来看看如何利用牛顿法来解决我们的问题。求平方根的倒数，实际就是求方
程1/(x^2)-a=0的解。将该方程按牛顿迭代法的公式展开为：
x[n+1]=1/2*x[n]*(3-a*x[n]*x[n])
将1/2放到括号里面，就得到了上面那个函数的倒数第二行。

接着，我们要设法估计第一个近似根。这也是上面的函数最神奇的地方。它通过某种方
法算出了一个与真根非常接近的近似根，因此它只需要使用一次迭代过程就获得了较满
意的解。它是怎样做到的呢？所有的奥妙就在于这一行：
i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 计算第一个近似根

超级莫名其妙的语句，不是吗？但仔细想一下的话，还是可以理解的。我们知道，IEEE
标准下，float类型的数据在32位系统上是这样表示的（大体来说就是这样，但省略了很
多细节，有兴趣可以GOOGLE）：
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
bits：31 30 ... 0
31：符号位
30-23：共8位，保存指数（E）
22-0：共23位，保存尾数（M）
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
所以，32位的浮点数用十进制实数表示就是：M*2^E。开根然后倒数就是：M^(-1/2)*2^
(-E/2)。现在就十分清晰了。语句i> >1其工作就是将指数除以2，实现2^(E/2)的部分。
而前面用一个常数减去它，目的就是得到M^(1/2)同时反转所有指数的符号。

至于那个0x5f3759df，呃，我只能说，的确是一个超级的Magic Number。

那个Magic Number是可以推导出来的，但我并不打算在这里讨论，因为实在太繁琐了。
简单来说，其原理如下：因为IEEE的浮点数中，尾数M省略了最前面的1，所以实际的尾
数是1+M。如果你在大学上数学课没有打瞌睡的话，那么当你看到(1+M)^(-1/2)这样的形
式时，应该会马上联想的到它的泰勒级数展开，而该展开式的第一项就是常数。下面给
出简单的推导过程：
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
对于实数R>0，假设其在IEEE的浮点表示中，
指数为E，尾数为M，则：

R^(-1/2)
= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)

将(1+M)^(-1/2)按泰勒级数展开，取第一项，得：

原式
= (1-M/2) * 2^(-E/2)
= 2^(-E/2) - (M/2) * 2^(-E/2)

如果不考虑指数的符号的话，
(M/2)*2^(E/2)正是(R>>1)，
而在IEEE表示中，指数的符号只需简单地加上一个偏移即可，
而式子的前半部分刚好是个常数，所以原式可以转化为：

原式 = C - (M/2)*2^(E/2) = C - (R>>1)，其中C为常数

所以只需要解方程：
R^(-1/2)
= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)
= C - (R>>1)
求出令到相对误差最小的C值就可以了
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
上面的推导过程只是我个人的理解，并未得到证实。而Chris Lomont则在他的论文中详
细讨论了最后那个方程的解法，并尝试在实际的机器上寻找最佳的常数C。有兴趣的朋友
可以在文末找到他的论文的链接。

所以，所谓的Magic Number，并不是从N元宇宙的某个星系由于时空扭曲而掉到地球上
的，而是几百年前就有的数学理论。只要熟悉NR和泰勒级数，你我同样有能力作出类似
的优化。

在GameDev.net 上有人做过测试，该函数的相对误差约为0.177585%，速度比C标准库的
sqrt提高超过20%。如果增加一次迭代过程，相对误差可以降低到e- 004 的级数，但速
度也会降到和sqrt差不多。据说在DOOM3中，Carmack通过查找表进一步优化了该算法，
精度近乎完美，而且速度也比原版提高了一截（正在努力弄源码，谁有发我一份）。

值得注意的是，在Chris Lomont的演算中，理论上最优秀的常数（精度最高）是
0x5f37642f，并且在实际测试中，如果只使用一次迭代的话，其效果也是最好的。但奇
怪的是，经过两次NR后，在该常数下解的精度将降低得非常厉害（天知道是怎么回
事！）。经过实际的测试，Chris Lomont认为，最优秀的常数是0x5f375a86。如果换成
64位的double版本的话，算法还是一样的，而最优常数则为 0x5fe6ec85e7de30da（又一
个令人冒汗的Magic Number - -b）。

这个算法依赖于浮点数的内部表示和字节顺序，所以是不具移植性的。如果放到Mac上跑
就会挂掉。如果想具备可移植性，还是乖乖用sqrt好了。但算法思想是通用的。大家可
以尝试推算一下相应的平方根算法。

下面给出Carmack在QUAKE3中使用的平方根算法。Carmack已经将QUAKE3的所有源代码捐
给开源了，所以大家可以放心使用，不用担心会受到律师信。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
//
// Carmack在QUAKE3中使用的计算平方根的函数
//
float CarmSqrt(float x){
union{
int intPart;
float floatPart;
} convertor;
union{
int intPart;
float floatPart;
} convertor2;
convertor.floatPart = x;
convertor2.floatPart = x;
convertor.intPart = 0x1FBCF800 + (convertor.intPart >> 1);
convertor2.intPart = 0x5f3759df - (convertor2.intPart >> 1);
return 0.5f*(convertor.floatPart + (x * convertor2.floatPart));
}